J7-06 仿真不确定度量化（UQ）与稳健/可靠性设计：从确定性单点到带分布的裕度

课程代码 J7-06 · 板块 J 仿真分析 CAE / J7 数字化仿真方法 时长 约 4.0 小时（7 讲 + 1 次 UQ 算例实操） 适合对象 高级仿真工程师与 CAE 方法／标准化岗；以及负责给设计裕度签字、或审阅仿真裕度结论的系统工程师（专家向；做稳健设计与可靠性论证的岗位必修，其余选修） 前置 J7-03 基于仿真的 DOE 与多目标优化 基于仿真的 DOE 与多目标优化；J7-01 仿真—试验相关性验证（Correlation） 仿真—试验相关性验证（Correlation）；L7-03 试验数据分析与不确定度评估 试验数据分析与不确定度评估；体系外前置（需自备）：概率论与数理统计基础（分布与分位数、方差与协方差、条件期望、正态分布函数查值） 本讲义定位 讲师授课蓝本 / 学员自学讲义，是 J7-06 大纲的完整展开版

---

引言：报告上那个裕度一个数都没算错——它只是回答了一个没有人问的问题

场合一。一次设计评审。电池包液冷的 1D 模型在名义输入下算出快充峰值温度，距限值还剩约 4 K（教学演算假设值，不对应任何平台，⛔ 禁止照抄取用），评审放行。量产之后，小批量车在同类工况下出现个别车辆触发降功率保护。复盘时第一反应通常是「模型不准」，而这个算例的模型侧是干净的：网格与步长收敛过、迭代残差落下去了、相关性验证也是合格的。错在方法层，不在模型层——那个「还剩 4 K」是「每个输入都取名义值算一遍」得到的一个点，而下线的车里没有一辆的输入组合恰好落在名义值上。把冷却液流量、TIM 厚度、电芯内阻、环境温度四项按各自的分布联合抽样传播一次，峰值温度的输出分布明显右偏，99 分位裕度只剩不到 1 K（同为教学演算假设值）——与那个名义点裕度差了三倍多。⚠ 请注意这两个数各自的口径不同：一个是名义点裕度、一个是 99 分位裕度，它们本来就不是同一个量，⛔ 不许并排摆着比大小，更⛔ 不许反过来推断任何平台的实际裕度、或当成「名义裕度到某个值就是安全线」这类可取用判据。

场合二。另一张桌上，有人给出的理由听起来更硬：「我已经把所有输入都取到最恶劣值跑过一次了，那比概率法还保守，所以不用再做不确定度分析。」这句话在多数情形下确实过保守——各项同时叠满的概率极低，代价是多花钱。但它有一个致命的盲区：它对分支型非线性是盲的，最坏的输入组合未必给出最坏的输出。风扇由关到开、阀由旁通到主路、泵已经满转再也补不出流量、压缩机进限功率——这些切换之后才长出来的那条尾巴，不在任何一个「角点」上，所以按角点跑多少遍都碰不到它。

场合三。第三张桌上，报告里已经有分布了：写着均值和标准差。可是要签字的那个量不是均值，是尾部的某一个分位。在右偏分布上，从均值再往尾部走的那一段，比从名义点走到均值那一段远得多——同一份分布，报均值和报分位数会得出两个方向相反的结论。

这三个场合的共同点，就是本课要反复敲的两根钉子。

钉子①：裕度是分位数口径的量，不是均值口径的量

单点裕度 ΔT_nom = T_limit − T_nom（每个输入取名义值算一次）与分位数裕度 ΔT_margin = T_limit − T_p（其中 p = 1 − P_f,target，由需求侧给定的失效概率目标反查）是两个不同的量：前者是响应曲面上的一个点，后者是输出分布上的一个位置。

⛔ 两者之间没有换算关系。不存在一个通用的「经验系数」能把 ΔT_nom 折成 ΔT_margin——因为两者之差取决于输出分布的宽度与形状，而形状由输入分布、输入之间的相关性、响应的非线性与工况分支共同决定，每个算例都不一样。这也是为什么「上一代平台我们乘 1.2」这类做法在本课里是被否掉的：那个系数与本项目的散差结构没有任何关系。

钉子① 的可执行形式，是把一句话改写成另一句话——把

「预测峰值 XX K，离限值还有 YY K」

改写成

「在给定的输入分布与工况下，响应的 p 分位距限值还有 ΔT_margin；p 由需求侧给的 P_f,target 反查；主导散差项为前两名输入；本结论在以下输入范围内有效。」

⚠ 全课不给任何一个 P_f,target 的可取用值。它不是仿真侧能定的量：热管理的性能失效（超温、压降超限、除霜不达标）多数不是安全失效，目标值须由需求层与架构层给定（需求文档的名义/极限/保护三层值见 B1-02 需求逐级分解：整车 VTS → 系统 SSTS → 零部件，架构决策的硬约束资格线见 B1-06 架构方案权衡：性能/成本/重量/可靠性多目标决策），⛔ 不得由仿真工程师自设，也⛔ 不得从别的平台或别的行业抄一个过来。本课出现 p 与 P_f 时一律写成符号，或写明「由需求给定」。⇒ 那么拿不到目标值的时候怎么办？正解是：交一张「不同 P_f 目标 → 对应的设计点位置」的对照表上去，让有权定这件事的人去选，⛔ 不许自己在报告里填一个。

钉子②：每一步都必须交出一个可被别人复核的判据取值，交不出来那一步就等于没做

这是本课的第二根主线，它管的是「你说做了，凭什么算做了」。四个落点：

（a）输入层——每一项写「分布形式 + 参数来源 + 与其它项是否相关」三栏，三栏写不全的项 ⛔ 不许进模型； （b）方法层——二阶项贡献比 r₂ 的实际算值，加上「有没有输入的散布跨过工况分支」的实际判断，两者共同决定这个算例走一阶展开还是走抽样／谱方法； （c）收敛层——均值的标准误实际值，加上关键分位数与 P_f 的自举置信区间实际宽度，并写成「区间宽度小于待判裕度的某个约定分数」这种能被别人拿去检查的形式； （d）交付层——分位数裕度、P_f、敏感度排序、本次结论的可信输入范围，以及本次未量化的不确定度项及其理由。

★ 本课把下面三句话钉成同一个毛病的三种说法，它们全是错的，请当作反面样本记住：

• ⛔ 「拍一个 ±5%」——输入层交不出参数来源，而且「±5%」这个说法本身就没有口径；
• ⛔ 「曲线看着平了」——收敛层交不出区间宽度；
• ⛔ 「报了均值和标准差就算带分布了」——交付层交不出分位数。

三句话的共同结构是：做了一个动作，却没有留下任何一个别人能复核的数。本课接下来每一讲的末尾都落回同一个动作——把那一步的判据取值写出来。

★ 本课最容易被读反的一条

「做不确定度分析就是把裕度算得更保守，所以做了 UQ 一定更安全；反过来说，我已经按最恶劣工况叠加算过一次，那比概率法还保守，可以不做 UQ。」

它之所以必然被读反，诱因就在本课自己的叙事里：本课通篇讲「分布比单点多一层信息」，而读者极容易把「多一层信息」理解成「往安全侧多加一层」。真相是——UQ 的结果方向不定。单点裕度既可能过保守（多花钱），也可能不安全（判据失去分辨力）；究竟偏哪一边，⛔ 不能靠直觉，只能由量化结果回答。更要命的是有三处操作看起来在往保守侧走、实际在往乐观侧走——读者以为自己已经很保守了，于是签了字。

做反动作①：拿到右偏分布，用 μ+3σ_f 报「99.87% 分位裕度」，以为它对应 1.3×10⁻³ 那一档的超限概率。 本课用一个教学算例 A 逐点算给你看（对数正态、以中位数归一化为 1、形状参数 0.3；教学假设值，不对应任何平台，⛔ 禁止照抄取用）：均值 1.0460、标准差 0.3210、偏度 0.950；μ+3σ_f = 2.0090，而真正的 99.865% 分位是 2.4596——正态外推比真分位低 18.32%，也就是裕度被高估了那么多。换成超越概率看更刺目：μ+3σ_f 这个位置的真实超越概率是 1.002×10⁻²，是它名义上代表的 1.3499×10⁻³ 的 7.42 倍。偏斜越重差得越大：形状参数取 0.5 时是 11.39 倍，取 0.2 时是 5.02 倍。 ⇒ 读反之后会做的那个具体动作：签字放行一个实际失效概率比目标高出近一个数量级的设计，而报告上白纸黑字写着「已按 3σ 设计」——没有任何一处会报警。

做反动作②：把「最恶劣工况叠加」当成「已经做过 UQ」，于是跳过分布传播。 这里叠着两条独立的错：(i) 各项同时叠满的概率极低，这条路线在多数情形下过保守、多花钱；(ii) 更危险的是它对分支型非线性盲。本课用教学算例 B 逐点算（输入服从标准正态、响应在 x_c = 0.5 处斜率变为 3 倍、4×10⁶ 样本、随机种子 20260806；教学假设值，⛔ 禁止照抄取用）：输出偏度 1.375；μ+3σ_f = 5.5240 处的真实超越概率 1.486×10⁻²，是名义 1.3499×10⁻³ 的 11.01 倍；真 99% 分位是 5.9815，而正态外推只给到 4.3726，低 26.90%。 ⇒ 读反之后会做的那个具体动作：把「已做最恶劣叠加」写进评审结论并据此免做 UQ，于是那条由饱和分支造出来的尾巴永远不会被看见。

做反动作③：把来自同一张物性表、同一供应商同一批次、共用同一基准的多个输入各自独立抽样，以为「按平方和合成已经够保守」。 两个输入、偏导同号、σ_x 相等时，输出标准差相对独立假设的比是 √(1+ρ)。本课逐点算：ρ = 0.3 时独立假设低估 σ_f 12.3%，ρ = 0.5 时低估 18.4%，ρ = 0.8 时低估 25.5%。 ⚠ 但方向不是固定的：Var(y) ≈ a²σ₁² + b²σ₂² + 2abρσ₁σ₂，独立假设丢掉的正是最后一项，方向由 abρ 的符号决定——ρ 为负、或两个偏导异号时，独立假设反而高估输出方差（ρ = −0.5 时比值 0.7071）。正因为方向要看符号，⛔ 不许靠直觉判定「独立更保守」，必须把相关矩阵写出来、按它联合抽（Cholesky 分解或 copula）。 ⇒ 读反之后会做的那个具体动作：在最常见的那种情形下（同一张表出来的物性、同一批零件、影响同向）把真超差判成合格，而这个错 ⛔ 不会在任何一次单变量检查里暴露出来。

★ 收口句，请连同这一整段一起带走：UQ 不是一套「更保守的算法」，它是把「保守多少」这件事从直觉搬到可检查的判据上。它可能告诉你原来的裕度是浪费的，也可能告诉你原来的裕度根本不够——⛔ 在算完之前，不许预设方向。⚠ 这一条与钉子① 是同一件事的两面：钉子① 说「裕度要换成分位数口径」，本条说「⛔ 别拿正态外推或最恶劣叠加冒充那个分位数」。

先把数字的口径说死，免得读正文时以为是漏写

本课是一门方法课，它几乎没有一个可以直接取用的工程数——这是刻意的，不是没写完。三条固定处理：

第一类，可以给准确值的：只有数学恒等式与可查证的分布性质（标准正态分布函数与分位点、组合数、样本量反解、方差合成的代数式等），给的时候连同适用条件一起给。 第二类，教学算例：本课出现的带数值算例（上面的教学算例 A 与 B、案例里的那两个裕度）一律是教学假设值，正文、可见图注与 alt 三处都会写明「教学假设值，不对应任何平台，⛔ 禁止照抄取用」。它们的用途仅限说明方向与量级关系。 第三类，平台相关量一律不给数，本课有六项：① 目标失效概率 P_f,target（由需求文件与企业内部规范给定）；② 各输入不确定度项的分布参数；③ 各响应的功能限值（T_limit、压降限值、除霜时间限值等）；④ 收敛判据里「区间宽度小于待判裕度的某个分数」的那个分数；⑤ r₂ 的判定阈值；⑥ 经验分位数的尾部样本支撑下限。⚠ 随之而来的还有一条画法纪律：凡属这六项的量，图上同样不给——包括刻度值与门槛竖线的位置。本课所有涉及限值与阈值的图，一律把它画成可沿轴自由平移的带或虚线，行尾标明「位置由需求侧／企业规范给出」，⛔ 不画在一个固定刻度上。

⚠ 另有一条口径要在这里先声明：本课全篇的 u 与带下标的 σ 都是 k = 1 的标准（不确定）度。工程报告里常见的 ±X 往往是 k = 2 的扩展不确定度，把它当 σ_x 直接代进抽样，那一项的方差贡献放大 4 倍；接手任何外部数据都必须问清 k，⛔ 不许直接收下。扩展不确定度与包含因子的定义与评定本体归 L7-03 试验数据分析与不确定度评估。

七讲怎么走：一条串联的链，每一段都有自己的出口判据

七讲的顺序就是一个人真正做一次 UQ 的顺序，前一段的交付物是后一段的输入。第 1 讲建输入分布账：输入来源要按三个正交维度建集而不是背一张五类清单，每项写满三栏，偶然（aleatory）与认知（epistemic）分栏记（因为处置方向相反），衰减项单独处理（它不是随机分量），并把「±5%」这句话拆开看它到底能读成几种。第 2 讲是全课的分流闸门：一阶展开（GUM 式偏导合成）在什么条件下失效——二阶项贡献比、散布跨不跨工况分支、输入之间相不相关，三条判据命中任一条就必须换方法，⛔ 而不是把偏导算得更细；相关分量怎么识别、怎么联合抽，也在这一讲。第 3 讲把分布传过去并按量分别判收敛：蒙特卡洛与 LHS 的代价与撒点差别、UQ 语境的分层与 DOE 语境的分层为什么不是一回事、均值先收敛而尾部远未收敛为什么是常态、自举能做什么又有什么硬边界。第 4 讲处理两堵墙——尾部（失效概率越小越贵，出路是重要抽样、子集模拟或代理模型路线）与高成本（谱方法 PCE 的维数灾，以及它在不光滑响应上的失效），末尾给出三条路线的选型表。第 5 讲找出谁在支配这条分布的宽度：方差分解的主效应与总效应各回答哪个工程问题、交互作用总量怎么读、Morris 筛选给的是排序而不是定量，以及把「谁贡献了散差」翻成「改哪一项最便宜」的动作阶梯。第 6 讲把设计点挪到位：噪声因子从定性走到定量、田口信噪比的局限、均值-方差双目标的 Pareto 前沿、确定性最优点为什么一带上分布就越界、可靠性优化（RBDO）把确定性约束换成概率约束的两类解法，以及本课的 P_f 与寿命可靠度的分道。第 7 讲把 T_p 与它的可信条件写成能签字的一行：口径统一、分位数裕度的定义与报法、经验分位数与正态外推的并列对照、多约束时系统失效概率为什么不能相加、评审级结果表要写满哪几行、三本账怎么合成、这份分布往下游怎么分发。其后的典型案例把七讲的判据合成一条决策链走一遍，动手做则用一个已通过相关性验证的算例把七步各验一次。

⚠ 全课有一个开跑前的前提闸，请先看清楚：本课默认「模型已能稳定求解」且已通过相关性验证。发散、振荡、不守恒这类数值伪迹的排查归 J7-08 一维系统模型的数值内核与「跑飞」排查：DAE/代数环、步长与容差、一致初值与守恒自检，网格与步长收敛归 J2-01 CFD 基础、湍流模型与网格划分（Fluent/STAR-CCM+） 与 J7-01 仿真—试验相关性验证（Correlation）。拿一个会跑飞或未验证的模型做 UQ，得到的分布只是数值噪声的分布。

七段走完，最后交出来的其实只是一个量——输出分布上的那个 p 分位，以及它到限值还剩多远。下面这张图就是钉子① 的一次落地：把名义点、均值、p 分位与限值同时画在一条分布上，你会看到「还剩多少」这句话在同一份分布上可以有几个互不相同的答案。

本课的边界：哪些东西不在这里找

本课只负责一本账：输入散差 u_input 的量化与传播。另外两本账各有归属——数值不确定度 u_num（网格／步长／迭代收敛）归 J2-01 CFD 基础、湍流模型与网格划分（Fluent/STAR-CCM+） 与 J7-01 仿真—试验相关性验证（Correlation），试验侧不确定度 u_D 归 L7-03 试验数据分析与不确定度评估；三本账的合成口径归 J7-01 仿真—试验相关性验证（Correlation），而本课的产出正是交给它的那一项。⚠ 一份只报其中一类的结果，在合成那一步是接不上的。

向上承接：设计变量的 DOE 与抽样质量准则、优化算法本体与 Pareto 支配关系的读法在 J7-03 基于仿真的 DOE 与多目标优化（本课只加「UQ 语境必须按输入分布的分位数分层」这一条改动）；⚠ 在前沿上怎么选点这条决策纪律另归 B1-06 架构方案权衡：性能/成本/重量/可靠性多目标决策 ⇒ Pareto 相关的两处去向是 J7-03 基于仿真的 DOE 与多目标优化 与 B1-06 架构方案权衡：性能/成本/重量/可靠性多目标决策 两门，全课统一按这两门写（6.5 与关键公式详解的式⑦ 同）；一阶偏导合成法的评定本体与 A 类／B 类评定在 L7-03 试验数据分析与不确定度评估（本课只判它什么时候不能用）；需求分解层的方差合成与独立性边界、以及名义／极限／保护三层值在 B1-02 需求逐级分解：整车 VTS → 系统 SSTS → 零部件；寿命末期口径与 EOL 参数重算在 B1-07 整车热量账与能耗账的寿命末期口径：EOL 参数重算与末期设计点；噪声因子的定性识别与分类在 I7-01 热管理系统/零部件 DFMEA 实操（判为高风险的项到本课来配分布并做传播）。

横向：代理模型本体与它自身的预测（认知）不确定度在 J7-05 机器学习/AI 代理模型在热管理中的应用——⚠ 走代理模型这条传播路线时，那一类与本课的输入散差必须一起报，只报一类就是漏了一本账；模型能不能稳定求解在 J7-08 一维系统模型的数值内核与「跑飞」排查：DAE/代数环、步长与容差、一致初值与守恒自检；仿真报告的整体最低要素集、评审出口判据与模型资产治理在 J7-07 仿真任务的输入、交付与模型资产管理（本课只补 UQ 专属的那几行，⛔ 不重写报告模板）；结果表与自举区间的脚本化在 Q3-01 热管理工程师的数据分析与 Python 脚本。

向下延伸（本课这份分布该被谁消费）：收窄哪一项公差、以及公差与工序能力的反查在 I5-02 GD&T 与公差分析在热管理中的应用；哪一项写进需求文档的名义／极限／保护三层值在 B1-02 需求逐级分解：整车 VTS → 系统 SSTS → 零部件；标定阈值该退多少在 K6-06 面向量产散差与老化的鲁棒标定：把公差、传感器误差与衰减折进阈值；架构决策里作为物理侧输入区间在 B1-06 架构方案权衡：性能/成本/重量/可靠性多目标决策。⚠ 还有一条界要划清：本课的 P_f 是「在给定工况下响应超出限值的概率」，与「跑多少循环后有多少比例的件失效」是两类量，寿命侧归 I6-04 可靠性目标、分配与寿命数据统计（TMS 可靠性量化入门），两者 ⛔ 既不能互换也不能换算。

⚠ 本课涉及的外部规范一律只写标准号与用法去向，⛔ 不写条款内容、不写限值，且版次与年份以现行目录为准、引用前须核——本课未取到其中任何一份原文，因此按这一条处理到底。其中两条要先说清射程：计算流体力学与传热的验证确认框架，本课的产出是它三分量之一、用法沿用 J7-01 仿真—试验相关性验证（Correlation）；测量不确定度表示指南（GUM），本课只用它「一阶展开何时失效」这一个判断，评定方法本体归 L7-03 试验数据分析与不确定度评估。另外，可靠性优化目前没有专用车用标准，目标失效概率须由项目需求文件与企业内部规范给定，这一条按内部规范落实、⛔ 不引任何标准号。

本课有七处要「先画全集，再逐项核对」

这是本课的骨架，也是最容易被跳读的部分。全集（一）输入不确定度来源——三个正交维度（它从哪里进入模型／它是哪一类不确定度／它记在哪一本账上），⛔ 不是一张五类清单；全集（二）不确定度传播方法——七族，⛔ 不是「抽样 vs 谱」两支；全集（三）收敛／精度判据——按「要判的是哪个输出量」分，⛔ 不按总样本数分；全集（四）敏感度指标——六族，按「它在哪里定义」分；全集（五）稳健／可靠性设计问题表述——八支；全集（六）失效事件——三类（单约束的峰值超限 · 多约束「任一越界」的并集 · 时变／首次穿越），⛔ 不是「峰值超限」一类；全集（七）评审级 UQ 结果表的最小要素——14 项。

⛔ 七个全集一处都不许沿单一线索枚举。每一处都会先写明「我沿什么线索数的」，再写明「有没有不在这条线索上、但同属这个集合的」——因为本课反复出现的失败形态不是「少写一条」，而是整整一类不出现，而清单看上去仍然是完整的。⚠ 七个全集里各有若干支是本课补的（不属于任何现成分类）——⛔ 没有哪一个全集是整份照搬现成分类的，凡属这一类，正文都会在当场标明「本课归纳」，⛔ 不写成某标准或某手册的既有条款——引用时请把这句一起带走。

⇒ 由此，本课能给你的不是一套能直接抄的参数，是那一整套「这个裕度算不算数」的判据：分布从哪来、方法凭什么选、收敛凭什么说收敛了、谁在支配散差、设计点该退到哪、以及最后那一行怎么写才顶得住评审。

第 1 讲　把散差建成账：输入不确定度清单怎么列才算列完

引言里那条七段主链的第 ① 段，就是这一讲。它的交付物不是一句"输入已经考虑过了"，而是一张能被别人逐行复核的表：每一行写清分布形式、参数来源、与哪几行相关，外加单独一栏"本次没有量化的项以及为什么"。这一讲不谈用哪种方法把分布传过去，也不谈抽多少样本——那是后面几讲的事。这一讲只回答一个问题：哪些量要进模型、各自以什么形态进去。这一步列错了，后面所有的分布、分位数与失效概率都只是把一个错的东西算得很精确。

开讲前先把符号钉死。本课同时出现统计量、概率量与仿真量，四组符号极易撞名，下面这张表在第 1 讲一次性钉死、全课不改：

符号	本课的含义	⛔ 不要与什么混
u	k=1 的标准不确定度（本课全篇一律 k=1，见 1.6）	工程报告里的 ±X 常是 k=2 的扩展不确定度
u_input / u_num / u_D	输入散差 / 数值 / 试验侧，三本各自独立的账	三本账各有各的量化手段，见 1.7
σ_x	某个输入的标准差	⛔ 与样本标准差 s 分写
σ_f	响应（输出）分布的标准差	⛔ 不等于 σ_process
σ_process	工艺分布的标准差（第 6 讲讲"6σ"时用，对象是公差带，手段侧去向 I5-02 GD&T 与公差分析在热管理中的应用）	⛔ 不与 σ_f 互算、不比大小
σ_EE	Morris 基本效应的离散度（第 5 讲）	⛔ 不是输出标准差
s	样本标准差	⛔ 不与总体标准差 σ_x、σ_f 混写
p	分位水平；y_p 是该分位上的响应值	PCE 的展开阶数全课写 p_order，⛔ 不裸写 p
P_f	失效概率；P_f,target 是目标值，p = 1 − P_f,target	P_f,target 由需求侧给定，⛔ 本课不给任何可取用值
β	可靠性指标（第 6 讲）	—
N	样本量	Morris 的轨迹数写 r（第 5 讲）、拉丁超立方独立重复的次数写 n_rep（3.3），⛔ 三者不互用
d	输入维数	本课凡"维数"一律写 d
S_i / S_Ti	Sobol 主效应 / 总效应（第 5 讲）	田口信噪比全课写 SNR，⛔ 不与 S 并存
ρ	输入之间的相关系数（取哪一种相关口径见第 2 讲）	—
CoV	变异系数	—
T_limit	功能限值	由需求文档给定，⛔ 本课不给数
ΔT_nom / ΔT_margin	名义点裕度 / 分位数裕度	⛔ 两者之间没有换算关系
n_rep	独立重复的拉丁超立方次数（3.3）	⛔ 与样本量 N、Morris 轨迹数 r 三者不互用
a	⚠ 局部符号，三义：1.6 的「±5%」半宽 · 2.2 的指数系数（f ∝ e^(a·x)）· 2.5 的偏导（与 b 成对）	⛔ 三个含义互不相干、⛔ 不得互相代入；每次出现必须当场写明是哪一个

三处最容易撞的地方提前说破：第一，"σ"这个字母在本课里至少代表三个不同的量（响应分布的、工艺分布的、Morris 基本效应的），所以正文里不写不带下标的 σ；第二，Morris 的 σ_EE 与输出标准差 σ_f 没有关系，别在第 5 讲把它们读成一个量；第三，把外部报告里 k=2 的数当 σ_x 直接代进抽样，那一项的贡献会直接翻倍——这一条 1.6 专门讲。

⚠ 「不写不带下标的 σ」这条只有两类例外，全课统一按此办：① 它作为一个说法的名字出现时——「3σ 设计」「6σ 设计」「1.5σ 长期漂移」，那是业界的叫法，⛔ 不是本课的符号（6.7 专门说这一条）；② 「±3σ」「μ+3σ」这种倍数写法，它指的是「几倍标准差」这个位置而不是某一条分布的参数，且图 06、图 09 上就是这么标的，⛔ 改成带下标反而会与图上不一致。除这两类之外，正文里出现的每一个 σ 都必须带下标。

另有一个符号要在这里登记：a。它在本课有三个互不相干的含义，⛔ 不是同一个量，⛔ 也不许互相代入：① 1.6 里 a 是「±5%」这句话的半宽（a = 0.05）；② 2.2 里 a 是指数型响应 f ∝ e^(a·x) 的指数系数；③ 2.5 里 a（与 b）是响应对两个输入的偏导。三者各自在当场声明一次，且三处都已画进了对应的图（图 06、图 08、图 10），⇒ 本课不改这三处的字母，改的是「每次出现都必须说清是哪一个」——收尾的误区 2 与误区 3 相邻出现，那里也补了区分句。

1.1 单点裕度背后有三个隐含假设，三条的失效方向还相反

工程上最常见的裕度结论是这么来的：每个输入取名义值，模型跑一遍，看结果离限值还有多少。这句话看起来没有任何假设，其实它同时压着三条：

① 每个输入都取在名义值上； ② 响应在名义点附近近似线性，所以名义输入给出名义输出； ③ 剩下的散差靠一个经验系数或安全系数补上。

三条各自都可能不成立，而且不成立的方向不一样。

假设①不成立时，输入本身是有分布的，名义输出既不是均值也不是中位数——非线性响应下 E[f(x)] ≠ f(E[x])，"名义点"在输出分布上的位置是浮动的，得看响应弯向哪边。

假设②不成立时（响应弯曲，或者输入的散布跨过了某个分支），一阶外推与真值之间的差随输入散布放大；散布越大差越大，而这恰恰是散差大的项最需要看清的地方。

假设③不成立时，问题最隐蔽：经验系数如果来自上一代平台或来自别的车型，它与本项目的散差结构没有任何关系。平台相关的门限必须由本项目自己确定，⛔ 不能抄上一代——一个从别处搬来的系数，你既说不出它兜住了哪几项散差，也说不出它兜到了几个 σ_f。

三条合起来，结论是一句会被反复重复的话：单点裕度既可能过保守（多花钱），也可能不安全（判据失去分辨力）；究竟偏哪一边，不能靠直觉，只能由量化结果回答。

量级上感受一下。本课全篇用一个教学算例 A：对数正态分布、中位数归一化为 1、形状参数取 0.3（教学假设值，不对应任何平台，⛔ 禁止照抄取用）。这条分布上，中位数与均值只差 4.60%，而中位数与 99% 分位差 100.95%——同一条分布上"名义点"与"要交付的那个点"相差一倍。引言里那张名义点与分位点的对照图画的就是这件事：ΔT_nom 与 ΔT_margin 是两段长度明显不同的线段，它们是两个量，⛔ 之间没有换算关系，不存在一个通用经验系数能把前者折成后者。

三个最常见的读错：

• 把"过保守"和"不安全"当成互斥的两种结论。同一个算例完全可以在均值上过保守、在尾部不安全——两句话说的是分布上的两个位置，不是同一个判断的正反面。
• 以为做了不确定度分析就一定往保守侧走。这是本课最容易读反的一条，常见误区里单列了它，那里有三个能当场判真假的做反动作。
• 把安全系数与分位数裕度混着用。先按经验系数留一道裕度，再按分位数口径留一道，等于对同一处散差修正了两次——同一处修正的多种参数化只能取一，⛔ 不得叠乘。改用分位数口径，就要把原来那个经验系数明确撤掉，并在报告里写清撤掉的是哪一条。

1.2 输入清账不是一张五类清单，而是三个正交维度

常见做法是把输入来源列成五类：物性、边界条件、部件特性、几何与装配、老化与衰减。这张清单本身没错，但它只是一个维度的一部分，而且把另一个维度的东西（衰减）混了进来。本课把建账重排成三个正交维度，拿到一个候选输入项，顺次回答三问，在三个维度上各打一个标记。

问一·它从哪里进入模型（维度 A，六类）

① 物性——导热系数、比热、黏度、密度、冷却液配比与浓度； ② 几何与装配——TIM 厚度、间隙、涂覆量、公差链的输出（手段侧见 I5-02 GD&T 与公差分析在热管理中的应用）； ③ 部件特性——UA、泵与风扇特性曲线的批次散布、压缩机容积效率； ④ 边界条件与源项——环境温度、来流、热源功率、日照； ⑤ 控制与标定——阈值、传感器误差、执行器响应与死区（落点见 K6-06 面向量产散差与老化的鲁棒标定：把公差、传感器误差与衰减折进阈值）； ⑥ 工况与使用谱——它是一个谱或一个分布，不是一个工况点：车速、载荷、充电倍率、驾驶行为。

⚠ 第 ⑤⑥ 两类是本课补的，⛔ 不是任何标准既有的分类。补它们的理由很具体：⛔ 只沿"模型输入框里有哪些物理参数"这一条线枚举，必然整类漏掉 ⑤⑥——它们不出现在任何一张物性表或任何一张图纸上，所以"把模型输入框翻一遍"这个动作根本找不到它们。而热管理系统的散差有相当一部分正来自这里：一个阈值标定得早一点还是晚一点、一个温度传感器的安装位置偏差，都会直接改写响应。漏掉的那一类不会以"少一条"的形式暴露，它是整类不出现，看起来这张表是完整的。

问二·它是哪一类不确定度（维度 B，三类）

① 偶然（aleatory）——批次散差、随机工况、使用谱； ② 认知（epistemic）——模型形式、关联式选型、参数数据不足、标定误差； ③ 单调衰减/漂移——结垢、内阻抬升、TIM 老化。⚠ 第 ③ 类既不是随机也不是认知，它是一个确定性的时间函数，⛔ 不能进平方和合成、⛔ 不能当对称分布抽样（1.5 单独讲）。

问三·它记在哪一本账上（维度 C，三本账）

① u_input（本课）· ② u_num 数值不确定度，去向 J2-01 CFD 基础、湍流模型与网格划分（Fluent/STAR-CCM+） 与 J7-01 仿真—试验相关性验证（Correlation） · ③ u_D 试验侧不确定度，去向 L7-03 试验数据分析与不确定度评估。三本账的合成口径归 J7-01 仿真—试验相关性验证（Correlation），1.7 再说。

三问是三个正交维度，不是一棵三级分类树。同一项可以在三个维度上各带一个标记，甚至在同一个维度里同时有多个分量。以 TIM 厚度为例：它在维度 A 上是"几何与装配"；在维度 B 上同时有偶然分量（批次散差）、认知分量（"等效厚度"这个建模量与图纸厚度的关系本来就不清楚）与衰减分量（老化后接触状态变化）；在维度 C 上属 u_input。

三个易错点，逐个说破：

• 把一项只记进一格。上面 TIM 厚度那个例子就是反例——只记成"偶然/几何"，那个认知分量就永远不会被人问起，而它恰恰是可以靠一次接触热阻实测消掉的。
• 把维度 C 当成维度 B 的细分。u_num 不是"认知不确定度的一种"，它是另一本账，量化手段完全不同（靠网格与步长的收敛研究，不靠输入分布）。
• 以为没列进表的输入就是确定的。这是最危险的默认：未列入的项会被默认当成不需要考虑，而默认值不会被任何检查覆盖。正确做法是把"本次未量化的项"显式写成表里的一行并注明理由，让它以可见的形态留在报告里。

⛔ 本课不给各类来源的贡献占比——那是平台相关量，只能由本算例自己的方差分解回答（第 5 讲）。

1.3 每一行的最小信息量：分布形式 + 参数来源 + 与哪几行相关

维度打完标记只是分类，还不能进模型。清单每一行必须写满三栏，三栏写不全的项 ⛔ 不许进模型。

分布形式栏写正态、对数正态、均匀、三角、经验分布或离散谱这一类具体形态。参数来源栏写它来自哪一级来源：外部资料按权威性排为标准原文 > 行业协会或手册 > 供应商数据表三级，本课再加两级常用的——本项目实测统计、工程假设。相关性栏写它与本表里哪几行相关、相关系数从哪来。

三栏各挡一类错，缺哪一栏就漏哪一类：

• 分布形式栏挡"默认正态"。把一个实际是对数正态的量硬套成正态，尾部就错了，而尾部正是要交付的那一段。更硬的一条：只有非负的量（厚度、内阻、流量）硬套正态，抽样时会抽出负数——模型要么报错，要么给出一个物理上不存在的样本还照样算出结果。
• 参数来源栏挡编造。写不出来源，说明这个数是拍出来的；正解是去补试验或向供应商索取数据，⛔ 不是拍一个百分比了事。
• 相关性栏挡独立假设的默认滑落。这一栏留空时，抽样代码会默认各项独立地抽——那是一个没有人做过的假设，却在结果里起了实实在在的作用（第 2 讲会给出它错多少、往哪个方向错）。

分布形式与参数的确定手段只有三条，各自带着自己的追问：

1. 本项目取样统计——最可靠，但必须问清样本量与抽样方式（十件同批的样本与十件跨批的样本，说的不是同一件事）；
2. 供应商数据表——⛔ 必须写清是哪个产品、哪个组合，某个组合下的窗口不等于该牌号的通用范围；
3. 工程假设——⛔ 必须标明它是假设，并写进"未量化项与理由"那一栏。

一行合格的表长什么样，只给结构、⛔ 不给数字：

分布形式	参数来源	与哪几行相关
对数正态（非负量，⛔ 不默认正态）	本项目某批次取样统计——样本量与抽样方式须写明	与第 3 行同批次；口径为秩相关，相关系数须由数据给

⚠ 这一行里一个具体数字都没有，这不是省略：本课不给任何输入的散差幅度、标准差或百分比——它是平台相关量，须由本项目的取样统计、供应商数据表或补做的试验确定，⛔ 禁止抄上一代平台。这条纪律对本课自己同样成立：一门讲"别拍数"的课，⛔ 自己更不能示范一个可取用的默认值。

三个易错点：

• 用最大最小值反推正态参数，却不写是按几倍 σ_x 反推的。这是 1.6 那张对照表的直接来源。
• 把公差带直接当成 ±3σ_x。公差带是允收限，不是分布；它与实际分布的关系要由过程能力数据给出，反查手段去向 I5-02 GD&T 与公差分析在热管理中的应用。
• 对只有几个样本的量拟合出一个精确的分布参数，然后当确定值用。样本少时，参数本身就带不确定度——那是一个认知分量，该记进下一节说的那一栏，而不是被四位小数掩盖掉。

1.4 偶然与认知必须分栏——处置方向相反，传播时走的循环层也不同

偶然（aleatory）是系统本身的随机性：批次散差、随机工况、使用谱。认知（epistemic）是我们知识不足带来的：模型形式、关联式选型、参数数据不足、标定误差。

分栏不是分类学游戏。分栏之后，两栏各自对应一条不同的花钱路径：

• 偶然栏的总量决定你要留多少设计裕度——钱花在设计上（更大的换热面积、更高一档的流量、更宽的公差补偿）。它补数据消不掉，再测一百件也不会让批次散差变小。
• 认知栏的每一项都对应一个"花多少钱能消掉多少"的选项——钱花在试验或建模上。换一个关联式、补一次台架标定、把等效厚度这个建模量测出来，这一项就可能整条消失。

不分栏，就看不出"这条尾巴其实是我不知道造成的，做一次试验就没了"。这句话是本节全部的价值所在。

四个易错点，前两个方向相反、代价也相反：

• 把认知项写进偶然栏——于是给它留了设计裕度，而它本可以靠一次台架试验消掉：白花钱，而且花在了硬件上，改不回来；
• 把偶然项当认知项——指望"再测测就准了"，而它永远不会收窄：项目一直在等一个不会到来的收敛；
• 以为分栏只是记账格式——它在传播这一步就要分开走，见下半节；
• 把代理模型自身的预测不确定度记进本课的认知栏——它归 J7-05 机器学习/AI 代理模型在热管理中的应用，本课只在合报时接手（走代理模型路线时两类必须一起报，第 4 讲讲）。

分栏之后，两类在传播这一步走的是不同的循环层。⚠ 这一段是本课补的做法，⛔ 不是既有分类的一部分，来源级别是方法文献与工程实践、非标准原文。

正规做法是双层循环：外层枚举认知项的情形或区间（例如换热关联式选 A 还是选 B、样本不足时参数取区间的哪一端），内层对偶然项抽样。产出的是一族输出分布（一个概率盒的上下包络），⛔ 不是一条。

为什么不能一起抽：概率与"不知道"不是同一种东西。把"我不确定该用哪个关联式"写成"关联式编号服从某个分布"，是给一个不存在的频率赋了值。那条混合分布上的 99% 分位，既不是"99% 的车不会超"，也不是"99% 的把握"——它什么都不是。而工程上真正要交付的判断恰恰是另一句：在最不利的那一个认知情形下，偶然散差还能不能兜住。这句话只有双层结构答得出来。

代价要事先算进预算，而且是相乘不是相加：外层 3 个情形 × 内层 N 次抽样 = 3N 次调用（这是纯算术，不是经验值）。

⚠ 射程接口：这条做法在第 4 讲的传播方法全集里对应族⑦（非概率方法）——那一族的做法就是本段，⛔ 第 4 讲不再重讲；而区间分析、证据理论与概率盒本身的算法与运算规则本课⛔ 不展开，也⛔ 没有承接课号可指（4.1 写明了这一点）。

这里同样有三个做反的动作：默认所有项都能一起抽（认知项的保守端被稀释掉了）；外层情形只列一个——就是当前正在用的那个，等于没做，外层至少要有一个"本课判为最不利"的情形；把外层产出的一族分布压成一条平均分布再报——那把刚刚分开的两类又混回去了，前面所有的分栏工作白做。

1.5 衰减项不是随机分量：先搬点，再传播

结垢、内阻抬升、TIM 老化这一类项，在清单上看起来和别的输入没什么两样，实际它们是另一种东西：以时间或里程为自变量的确定性劣化函数。它与"同一时刻不同个体之间的散差"是两个正交的量——一个沿时间轴走，一个在某一时刻沿响应轴散。

把它当随机分量处理，会犯两个方向不同的错：

• 当对称分布抽样——等于假设"有一半的车会越用越好"，而那一半样本根本不存在。这个错在样本里是看不见的：抽出来的每一个负向样本都是合法的数，模型照样收敛、照样给结果。
• 按平方和与随机项合成——等于假设它与随机项独立地互相抵消，而实际情况是全体样本一起同向漂移，没有任何抵消。

正确的结构是"末期点 + 末期点上的散差带"：均值随时间单调移动，而带宽本身也可能随时间变化（老化散差常常会随里程放大）。落到操作上是两步，顺序不能颠倒：

第一步，按 B1-07 整车热量账与能耗账的寿命末期口径：EOL 参数重算与末期设计点 的寿命末期口径把设计点搬到末期； 第二步，在末期点上做本课的散差传播。

⛔ 两处都计入衰减是不行的——一次进了设计点、一次又进了分布，等于对同一处修正做了两遍。

⛔ 本课不给任何衰减速率或末期折减比例——那是平台相关量。另有一条边界要写清：B1-07 整车热量账与能耗账的寿命末期口径：EOL 参数重算与末期设计点 做的是单变量替换，它给出的是一个确定性结论，⛔ 不得冒充概率结论。

三个易错点：在初期点上做完不确定度分析就交付——末期工况根本不在样本里，而车队真正会遇到的正是末期；把单变量末期替换的结果当成"已经做过不确定度分析"——那是一次确定性替换，一条分布都没有；在末期点上重复计入衰减——上面说的双重修正。

1.6 两处口径必须在第 1 讲就钉死：k 是几，以及"±5%"到底是分布的什么

第一处：包含因子 k。"不确定度"这个词自带两套口径——测量不确定度表示指南（GUM）语境里的标准不确定度是 k=1，而工程报告里常见的 ±X 往往是 k=2 的扩展不确定度。同一个读数，包含因子一变含义就变，而表面上那个数字一模一样。

本课的声明是硬的：本课全篇所有的 u 与带下标的 σ 一律是 k=1；接手任何外部数据（供应商数据表、试验报告、上游需求文件）时必须问清 k，问不到的按"未知口径"处理并显式写进未量化项那一栏，⛔ 不许直接收下。

后果是纯算术：把 k=2 的数当 k=1 用，该项的方差贡献放大 4 倍；若它恰好是主导项，输出标准差 σ_f 就近似放大 2 倍，传到失效概率上会差好几个数量级。三个易错点：见到 ±X 就当成 ±1σ_x；反过来把 k=1 的数当 k=2 用，把散差算小；同一份表里两种口径混用，而每一项看着都有来源。

⚠ 扩展不确定度、包含因子与 A 类/B 类评定的本体归 L7-03 试验数据分析与不确定度评估，本课只声明取哪一套并写去向，⛔ 不展开评定方法。测量不确定度表示指南（ISO/IEC Guide 98-3，GUM）与国内对应口径的测量不确定度评定与表示规范（JJF 1059）在本课只作方法出处，⛔ 不写任何条款内容与限值；该体系另有以蒙特卡洛法传播分布的补充件，其编号与现行状态按现行版本确认，⛔ 本课不补编号。上述标准的版次与年份以现行目录为准，引用前须核。

第二处：那句"±5%"本身。拍一个 ±5% 是最常见的开局错误，但它错了两层——第一层是没有来源（这一层还能被审出来）；第二层更隐蔽："±5%"这个说法本身就没有口径。它可能是 ±1σ_x、±2σ_x、±3σ_x，也可能是均匀分布的半宽或三角分布的半宽。

取半宽 a = 0.05，五种读法逐点代入（纯算术）。⚠ 本节的 a 专指这个半宽——符号表已登记 a 是三义局部符号，另外两义（2.2 的指数系数、2.5 的偏导）与本节无关，⛔ 不得代入：

读法	换算式	得到的 σ_x
正态，取 ±1σ_x	a	0.05
均匀分布 [−a, a]	a/√3	0.0288675
正态，取 ±2σ_x	a/2	0.025
三角分布 [−a, a]	a/√6	0.0204124
正态，取 ±3σ_x	a/3	0.0166667

最大与最小相差 3.00 倍。⚠ 这里的 a = 0.05 是被分析的对象——用来证明这个说法没有口径，⛔ 它不是本课推荐的输入散差，⛔ 更不是一个可取用的默认值。

为什么第二层比第一层危险：没来源的项还会被审出来，而一行写着"±5%（供应商数据表）"的项看起来是合格的，读者不会再去问它是几倍 σ_x。

后果要算到底。σ_x 差 3 倍，同一个极限状态的可靠性指标 β 就差 3 倍；β 从 3 降到 1，单侧失效概率从 1.3499×10⁻³ 变成 1.5866×10⁻¹，相差 117.5 倍（标准正态分布函数逐点复算）。⚠ 这里只是把 σ_x 的差换算成一个可比的量；β 与失效概率的对应关系、以及它只在"约束近似线性、极限状态函数近正态"时成立这一前提，第 6 讲再展开。

三个易错点：把公差带的 ±X 直接当 ±3σ_x（公差带是允收限，与实际分布的关系要由过程能力数据给，去向 I5-02 GD&T 与公差分析在热管理中的应用）；把"最大偏差"当成 3σ_x，而它其实是一个历史极值；同一份表里几项各按各的读法，而输出只有一条分布，事后看不出是哪一项的口径错了。

⇒ 由此得到一条硬规则：分布形式栏必须写到"分布 + 这个数字是它的什么"这一层，⛔ 只写一个百分比不算填了这一栏。

1.7 本课只记 u_input 这一本账

最后把射程划死。一次仿真结果与真值之间的差要分三本账，本课只做其中一本：

账	是什么	量化手段	归谁
u_input	输入散差传到输出上的那一部分	输入分布 + 传播（本课第 2~4 讲）	本课
u_num	数值不确定度	网格/步长/迭代收敛研究	J2-01 CFD 基础、湍流模型与网格划分（Fluent/STAR-CCM+）、J7-01 仿真—试验相关性验证（Correlation）
u_D	试验侧不确定度	试验不确定度评定	L7-03 试验数据分析与不确定度评估

为什么必须划死：三本账各有各的量化手段，互相顶替就是量级级别的错——加密网格治不了输入散差，多抽样本也治不了网格粗。三本账的合成口径归 J7-01 仿真—试验相关性验证（Correlation），本课的产出正是交给它的那一项。

⛔ 本课不给三者的相对大小或占比，那是平台与算例相关的。但有一条可判的：三者中最大的那一项决定了合成值的量级，所以"先量化哪一本账"取决于哪一本可能最大，⛔ 不取决于哪一本最好算——后一种排序是本能反应，而它系统性地把最贵也最要紧的那本账排到最后。

三个易错点：只报 u_input 就去与试验做相关性判读，于是把 u_num 与 u_D 的差全算到了模型头上；报告里写"不确定度为某值"却不说是哪一本账，读者无从判断它该跟什么比；把 u_input 直接当成合成后的值用。

⚠ 计算流体力学与传热的验证确认框架（ASME V&V 20）在本课只写标准号与用法去向：本课产出的 u_input 是它那套合成里的一个分量，合成口径沿用 J7-01 仿真—试验相关性验证（Correlation）。本课未取到该标准原文，⛔ 不写任何条款内容与限值，版次与年份以现行目录为准、引用前须核。

⚠ 还有一条前提，第 3 讲会正式立成闸，这里先记住：本课默认模型已能稳定求解且已通过相关性验证。拿一个会跑飞或未验证的模型做输入散差传播，得到的分布只是数值噪声的分布——发散、振荡、不守恒这类数值伪迹的排查归 J7-08 一维系统模型的数值内核与「跑飞」排查：DAE/代数环、步长与容差、一致初值与守恒自检。

本讲小结：这一讲交出的是一张表，而不是一个结论。判据有四条，缺一条这一步就不算做完——① 每一项在三个正交维度上各打了标记（漏掉的是"控制与标定"和"工况与使用谱"这两整类）；② 每一行三栏写满，写不满的项不进模型；③ 偶然与认知分栏，且在传播时走双层循环、交出的是一族分布的包络；④ 衰减项先按末期口径搬点、再在末期点上传播，⛔ 不重复计入。外加两处口径的显式声明（k 是几、那个百分比是分布的什么）与一句射程（本课只记 u_input）。下一讲回答的是紧接着的问题：这张表建好之后，还用不用抽样——一阶展开在什么条件下就够了，什么条件下它不是不准而是不成立。