G1-09 涡旋盘副参数化设计：型线—V_th/Vi 反算、间隙链与齿顶密封

课程代码 G1-09 · 板块 G 总成级产品专题 / G1 电动压缩机 时长 约 4.0 小时（7 讲 + 1 次型线—排量反算与间隙链分配实操） 适合对象 Tier1 电动压缩机盘副结构设计工程师；主机厂做压缩机供应商方案对标、性能散差归因与技术评审的人（专家选修，窄受众） 前置 G1-01 电动涡旋压缩机结构与工作原理；I5-02 GD&T 与公差分析在热管理中的应用；I2-03 振动、热膨胀与运动包络的间隙管理；体系外前置（需自备）：渐开线几何与解析几何；可压缩流体经缝隙／喷管的等熵流动与壅塞条件 本讲义定位 讲师授课蓝本 / 学员自学讲义，是 G1-09 大纲的完整展开版

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引言：两份参数表逐行都对得上的样机，为什么一进夏天就分出高下

某纯电平台做电动压缩机双供应商对标：两家样机的名义排量一样、标称内容积比 Vi 一样，转速范围一样，常温工况台架 COP 差距不到一成——把两份参数表并排放在桌上，逐行比过去，找不出任何一行能预告后面发生的事。装车之后，一到外温高、冷凝压力高的工况，两台机明显拉开：A 家制冷量掉得更快，排气温度更高，症状与 G1-01 电动涡旋压缩机结构与工作原理 §5.1 那条「无异响 + 排气温度偏高 ⇒ 密封内泄漏」的分诊路径完全吻合。拉开差距的那几个量，一个都不在参数表上——它们是热态而不是冷态的间隙，是 Vi 报的到底是解析值还是回代值，是 η_v 随压比下降的那条斜率，是端板厚度与背压腔作用面积这两个从不上参数表、却直接决定热态间隙的结构量。本课要交付的，就是把这几个量算出来、并且在评审桌上问得出来的能力。

这门课站的位置很窄，边界要先说清：它是盘副几何—间隙—密封的定量设计层，起点正是 G1-01 电动涡旋压缩机结构与工作原理 的终点。G1-01 电动涡旋压缩机结构与工作原理 已经把背压腔与轴向柔顺、径向柔顺与齿顶／齿侧密封的分工讲成一条定性因果链（§2.3、§2.4），也已经把 Vi 固定带来的过／欠压缩机理交代清楚（§4）；本课一句都不重写，只做它没做的两件事——把「间隙 → 泄漏 → η_v」这一环从定性变成可算，以及把「由目标排量反算出一组可行几何」这条逆向设计的路补上。学完你应当能做六件事：① 由基圆半径 a、齿壁厚 t、齿高 h、终止展角 φ_e 算出偏心距 r_or、理论排量 V_th 与内容积比 Vi，并反过来由目标 V_th 与安装包络反算出一组可行几何，说清 a 与 φ_e 之间怎么互相挤占；② 说清齿头修正型线在中心余隙容积、齿头根部应力与排气口开口面积三者之间的折中，并解释为什么带修正之后 Vi 必须回代腔容积—转角（V-θ）曲线重算、不能继续用解析式；③ 把轴向间隙与径向间隙分配到微米量级，算出热变形与压力变形下的漂移量，并判断冷态装配间隙该按热态目标怎么反推；④ 用缝隙流量式分别估出径向（齿顶—端板）与切向（齿侧—齿侧）两条泄漏路径的量级占比，并把 η_v 写成「密度项 × 泄漏项」的相乘形式而不是相加形式；⑤ 给出齿顶密封条与密封槽的四个设计参数、盘体耐磨表面处理的选择判据与相容性否决项，并说明配对选配的分组数是怎么由加工分布宽度与间隙目标带宽算出来的；⑥ 定义一次泄漏 CFD 的计算域与对标口径，并编排一组台架试验把 η_v 亏损分离到内泄漏与吸气受热两项、再回标间隙模型。

七讲的次序就是这六件事的依赖次序，不能打乱。第 1 讲立几何：五个量、四个自由度，V_th 与 Vi 的正算与反算，以及把反算做成一条可复述的三步定序（外径约束定 a 的上限 → φ_e 补齐排量 → 核 t 的强度下限；⚠ 这条定序是本课归纳的组织方式，⛔ 不是任何标准或设计手册的既有条款）。第 2 讲讲齿头修正——量产涡旋盘的齿头一律是修正型线，这不是可选项，于是第 1 讲那条解析式在这里当场失效，评审材料必须换成修正前后的 V-θ 曲线对比。第 3 讲把两条泄漏路径的名字钉死，给出缝隙流量模型、临界压比与 C_d 标定的口径，并把 η_v 改写成相乘形式。第 4 讲做间隙链：微米级的分配量、两笔方向相反的漂移、背压顶紧力与气体分离力的平衡，以及间隙的下限到底由谁围出来。第 5 讲换一个问法——这条公差带造得出来吗、测得出来吗、评定基准在图纸上定死了吗。第 6 讲回答齿顶这对摩擦副选什么：要不要上密封条、盘体表面怎么处理、要不要在图纸上写分组选配、跑合该怎么判。第 7 讲收口到验证与对标：泄漏 CFD 该交付什么、台架怎么把 η_v 亏损分离成两项、看供应商方案时该追哪三件事。

全课有两根钉子，七讲反复敲。

钉子 A ——涡旋盘副的五个几何量不是五个自由度：先定基圆半径 a 与齿壁厚 t，偏心距 r_or = πa − t 就自动落定；而理论排量 V_th 与内容积比 Vi 由同一组量锁死，⛔ 不存在「只改排量不改 Vi」的改型。这根钉子把前两讲串成一件事：第 1 讲把 a、t、h、φ_e 与导出量 r_or 的关系写成解析式，并指出括号项 (2φ_e − 3π − 2φ_0) 同时出现在 V_th 与 Vi 两个式子里——这就是「改一处两处齐动」的代数形态；第 2 讲说明齿头修正一改，吸气腔封闭位置与排气腔起算位置同时移动，于是解析式当场失效、Vi 必须回代 V-θ 曲线重算。⇒ 全课第一条可执行动作：拿到任何一个盘副改型或对标方案，先问三句——r_or 是算出来的还是当自由度凑出来的？V_th 与 Vi 各变了多少？Vi 报的是解析值还是回代值？三句里有一句答不出，方案不予受理，⛔ 不要先去看它的效率数据。

钉子 B ——间隙与容积效率都是「热态的、带斜率的」量：冷态间隙相同不代表热态间隙相同，单点 η_v 相同不代表两台机一样。这根钉子把后五讲串起来：第 3 讲把泄漏写成 ṁ_leak = C_d·A_gap·√(2ρ_up·Δp)，而泄漏面积 A_gap 直接由间隙乘以密封线长构成，⇒ 间隙是热态的，泄漏就是热态的；第 4 讲给出两笔方向相反的漂移——差热膨胀把间隙吃掉、端板弯曲把间隙开大，二者与冷态分配量同阶；第 5、6 讲说明间隙的下限不是由 η_v 单方面定，而是由可达的过程能力、磨损与跑合共同围出来的一条带；第 7 讲把验收量从「一个 COP 点」换成「η_v—压比曲线的斜率」，并给出把亏损分离到内泄漏与吸气受热两项的三种手段。⇒ 全课第二条可执行动作：看到任何一张间隙台账，先问它标的是冷态还是热态、是最坏情况还是统计口径；看到任何一个 η_v 数，先问它落在曲线的哪一点、整条曲线的斜率是多少。答不出来的台账与数字，不进对标、不进改型决策。

★ 接下来把本课最容易被读反的那句直觉摆到台面上：「腔内压力越高，两片涡旋盘被压得越紧，间隙越小，也就越不容易漏」。这条直觉顺得几乎不像是错的——日常工程经验里「压紧」就是密封的同义词（拧螺栓压垫片、压紧法兰面），而涡旋盘副恰恰是每一个环节都反过来的那一类结构。反在哪，三层依次说清（本课把这三层放在第 4 讲显式点破，⛔ 不只丢进误区节）：

① 受力层——腔内气体压力作用在两片端板的对向面上，它是把两盘推开的分离力，不是压紧力。压紧力另有来源：背压腔里的中间压力作用在动盘端板的背面。所以齿顶贴不贴得住，是背压顶紧力与气体分离力的平衡结果（G1-01 电动涡旋压缩机结构与工作原理 §2.3 已把这一步讲成定性两难，本课把它接成可算的一条链），⛔ 不是「压力大就压得紧」的同向叠加。压比升高时分离力随之升高，而背压未必按同一比例跟上。

② 变形层——端板在气压下按 Δδ_压 ∝ Δp_端板·R⁴/(E·t_端板³) 的标度鼓出，把轴向间隙开大；它与差热膨胀 Δδ_热 ≈ α·h·ΔT 把间隙吃掉的方向恰好相反。两项都与冷态分配量同阶，⇒ 只算其中一项就冻结间隙表，符号都可能是错的。⚠ 这里的 Δp_端板 是端板两侧的压差，与下一条里那个缝隙上下游的 Δp 不是同一个量——本课在第 1 讲末立符号表把易混的几对分列，正文一律不裸写 δ 与 t。⚠ 端板哪一面压力更高取决于壳体压力方案（高压侧壳体还是低压侧壳体），符号必须按本机型的壳体方案重新判一次，⛔ 不许照抄本课算例的符号约定。

③ 泄漏层——齿顶这条路径的泄漏量 ∝ C_d·δ_轴向·L·√(2ρ_up·Δp)：压比升高时 δ_轴向 被开大、Δp 变大、上游密度 ρ_up 也变大，三个因子同向放大同一件事。所以高温、高压比工况是内泄漏先暴露的工况，而不是「压得更紧所以更好」——这正是开头那台 A 家样机为什么偏偏在夏天高负荷时露馅的定量根因，也是 G1-01 电动涡旋压缩机结构与工作原理 §5.1 那条分诊路径为什么总在夏天先亮的原因。

⚠ 照这条直觉做，会做出方向完全相反的动作：以为高压比工况更安全，于是把间隙验证只做在常温设计点、把冷态间隙表当成横比依据；更糟的是为了「压更紧」去调高背压——而背压偏高换来的是齿顶接触比压上升、磨损加快，等于把一个泄漏问题换成一个耐久问题。这两个动作在常温台架上都看不出坏处，它们要到高温工况或耐久后期才结账。这也是本课把「热态」两个字反复挂在嘴边的原因。

开讲之前，先把本课的数字与依据口径一次性声明清楚，后文不再逐处重复：

• 教学假设值——涡旋型线的实际取值属供应商企业规范、不公开，故凡带代入值的算例，全课统一取同一组教学假设几何与工况（第 1 讲 1.1 一次给出并当场标明，后续各讲沿用）。⛔ 这组值不对应任何平台、任何型号，禁止照抄取用；它唯一的用途，是让你能把每一步都自己复算一遍。
• 行业典型区间——少数几个量只给区间并明标「典型」（如车用电动涡旋的主流排量段、设计点 η_v 的落带、缝隙流量系数 C_d 的量级）。它们的用途只有一个：判断教学算例的结果落不落在带内，做自洽性检查。⛔ 区间端点不得当作可承诺值，⛔ 不得拿它去卡供应商、也不得据以做倍数比较。
• 平台相关量本课不给数——间隙的分配量与目标带、背压比与背压腔作用面积、端板厚度、型面公差带、测量系统能力门槛、分组数与组距、跑合时长与磨屑限值、台架放行判据与网格判据门槛，一律须由本项目的实测与仿真确定。⛔ 不得抄上一代平台，⛔ 更不得抄本课的算例值。
• 物性值须现算复核——算例里用到的吸气密度、缝隙上游密度与等熵指数按物性库口径引用；⚠ 落地使用前必须用物性库现算复核并注明所用库与版本，若与库值不符，须把正文、图、图注、alt 与生成脚本里的所有落点一次性改齐，⛔ 不许只改正文。
• 标准只写号与去向——本课涉及的 ASME Y14.5 / ISO 1101、ISO 10360 系列，以及齿轮齿廓偏差评定体系（ISO 1328 / GB/T 10095 体系）均未取到原文，⇒ 正文只写标准号与它管什么，⛔ 一个条款、一个精度等级、一个限值都不写；版次与实施日期以现行目录为准，引用前须核。其中齿轮体系还要多一句射程声明：它的适用对象是圆柱齿轮，涡旋盘不在其内，只能借它的评定思想，⛔ 不得套用精度等级。⚠ 更要紧的是一句诚实交代：涡旋型线本身、间隙分配的推荐带、齿顶密封条材料与缝隙流量系数 C_d 的经验值，都没有公开统一标准——它们属设计手册与供应商企业规范，引用任何经验系数必须连同手册版本、单位制与适用机型范围一并声明，⛔ 不得跨资料照搬数值。本课不会为了显得有依据去编一个标准号。

最后交代本课不讲什么、去哪找，⛔ 对这些内容一律只给类型与去向，不给限值与条款。已有讲义、可以指到具体位置的：背压腔与轴向柔顺、径向柔顺与密封的定性因果链、以及故障分诊两条路径 → G1-01 电动涡旋压缩机结构与工作原理 §2.3／§2.4／§5.1；Vi 固定带来的过／欠压缩损失与变转速容调的补偿手段 → G1-01 电动涡旋压缩机结构与工作原理 §4 与 G1-02 压缩机排量、转速控制与容调；间隙偏大之后的压力脉动、阶次识别与转速禁区 → G1-04 压缩机噪声、振动与隔振设计 §4.3；轴承与止推面的材料副、PV 与比膜厚 Λ 的三段判读、POE 油品红线、液击与异物防护 → G1-05 压缩机润滑、可靠性与湿压缩防护 §5.2 与其第 1、3 讲；跨临界 CO₂ 把齿头应力、余隙与间隙推到什么量级 → G1-06 CO₂ 与 R290 压缩机的特殊设计要点；余隙再膨胀式是往复机口径（本课引用它只为说明它对涡旋机是次项、不可当主模型） → C1-02 蒸发器/冷凝器/压缩机/膨胀阀选型匹配；公差堆叠的最坏情况与统计两种口径、基准体系、能力指数与测量系统能力 → I5-02 GD&T 与公差分析在热管理中的应用；CFD 的湍流模型、y+ 与网格无关性判据 → J2-01 CFD 基础、湍流模型与网格划分（Fluent/STAR-CCM+）。另有几类内容归尚无讲义的课题，本课只写「归某课」、⛔ 不写「详见某课第几讲」：间隙管理的通用五笔账与热膨胀通法归 I2-03 振动、热膨胀与运动包络的间隙管理（它同时是本课前置，⚠ 点过去看到的是它的大纲要点而不是讲义），尺寸测量、检具与尺寸报告判读归 I5-06 热管理件的尺寸测量、检具与尺寸报告判读（尺寸工程验证侧），磨损机理判别与耗损定寿归 I6-05 磨损与动作次数定寿：耗损失效的第四机理、跨部件判据与动作耐久验证，量热计法台架的搭建、双路热平衡校核与放行判据归 L1-06 电动压缩机单体性能试验（量热计法台架），型线加工链的工艺实施、分组选配的产线执行与总装过程质量控制归 G1-07 电动压缩机制造工艺与过程质量控制（型线加工·配合选配·清洁度与水分·总装），拆机后的磨屑形貌判读与判废归 G1-08 电动压缩机失效件判读与烧毁后的系统处置，通用表面处理的机理、过程窗口与检验判据归 H6-02 阳极氧化、锌层与电偶腐蚀防护 与 H6-03 表面处理的过程控制、检验判据与特殊过程审核；此外，容积式泵的几何—排量—间隙链在别的部件上怎么走，可横向对照 G5-05 电子水泵水力部件设计：叶轮/蜗壳几何、内部间隙与轴向力 与 G5-07 电子油泵本体零件级设计：容积式构型几何与排量、间隙链、困油与流量脉动。⇒ 由此有两种读法会落空：一是把本课当标准条文课读，来找符号判读细则、精度等级或推荐间隙值——本课一个都不给；二是来找可以直接抄进图纸的数——本课能给你的不是数，而是推出那个数的那条链，以及判断这条链算得对不对的判据。

第 1 讲　渐开线型线的五个几何参数与 V_th / Vi 的解析反算

拿到一个涡旋盘副方案，最省力的读法是把参数表上的排量与内容积比各看一眼，两个数对得上就往下走。这条路一直走得通，靠的是一个从来没有被明说出口的前提：排量与内容积比是两个可以分别去调的旋钮。本讲第一件事，就是把这个前提拆掉。

钉子 A 在这一讲立住：涡旋盘副的五个几何量不是五个自由度——先定基圆半径 a 与齿壁厚 t，偏心距 r_or = πa − t 就自动落定；而理论排量 V_th 与内容积比 Vi 由同一个括号项 (2φ_e − 3π − 2φ_0) 锁死，它同时出现在两个式子里。⇒ 「改一处、两处齐动」不是一句经验之谈，它有确定的代数形态；本讲要做的就是把这个形态写出来，并把它翻译成评审桌上的一条受理条件。

本讲交付五件：① 五个几何量与导出量 r_or 之间的锁定关系，以及「哪几个才是设计量」这条定序；② 理论排量的正算式与它的口径陷阱（含壁厚折算展角 φ_0 的两种在流通定义）；③ 反算的三步定序与 a—φ_e 可行域的画法；④ 内容积比 Vi 的几何反算，以及排气口开启转角 θ_d 落在分母上带来的敏感度放大；⑤ 全课的符号纪律与一组教学统一算例。

本讲不交付：齿头修正之后的一切（修正一改，本讲的解析式当场失效，见第 2 讲）；泄漏路径、缝隙流量模型与容积效率的可算写法（第 3 讲）；间隙链的分配与热态／压致漂移（第 4 讲）；型面公差与检测能力（第 5 讲）；过压缩／欠压缩的系统后果与变转速容调怎么补（G1-01 电动涡旋压缩机结构与工作原理 §4 与 G1-02 压缩机排量、转速控制与容调，本课不重讲）。还有一件本讲刻意不给：基圆半径 a 与齿壁厚 t 的实际取值——它属供应商企业规范、不公开，本课一律不给数，全课算例统一走一组标明了的教学假设值。

本讲的走法：先把五个量拆成「四个设计量 + 一个导出量」（1.1），再指出容量侧与密封侧其实挂在同一个量上（1.2），然后写出正算式并把它的口径陷阱说透（1.3），接着把逆向设计的真实入口——反算——展开成三步定序与一张可行域图（1.4），再把 Vi 的几何反算与它的敏感度放大讲清（1.5），由此收出一条受理条件（1.6），补上齿壁厚 t 被两头夹的边界（1.7），最后把全课的符号纪律与统一算例一次立完（1.8）。

1.1 五个几何量、四个自由度：偏心距 r_or 是算出来的，不是拿来凑排量的旋钮

是什么。描述一对对称等壁厚渐开线涡旋盘副，常被列出来的是五个量：基圆半径 a、齿壁厚 t、齿高 h、终止展角 φ_e（等价于圈数 N = φ_e/2π），以及偏心距（回转半径）r_or。但它们不是五个可以各自拨的旋钮：前四个是设计量，第五个是导出量——等壁厚渐开线的啮合条件把它锁成

r_or = πa − t

r_or 的物理身份是曲拐的偏心量，也是动盘公转的回转半径。它之所以不能自由给，是因为它同时被齿距与齿壁厚夹住：齿距 P = 2πa 减去两个齿壁厚再对半，剩下的正是 πa − t。同一条式子还顺手给出了齿壁厚的上限——齿壁厚 t 趋近 πa 时 r_or 趋零，齿间没有流道，排量归零。

为什么把它当自由度必然出事。把 r_or 当旋钮去调，等于在暗中同时改了 a 或 t 而不自知：想加大 r_or 抬排量，要么加大 a（外径同步涨、齿壁应力上升），要么减薄齿壁厚 t（齿根弯曲应力上升）。两条路都通向别的约束，而不是通向「排量变大了、别的没变」。于是「凑排量」这个动作在纸面上是成立的，要到样机阶段才以超外径包络或齿壁开裂的形式暴露——那是返工代价最高的位置，型线往往已经开模。

⇒ 正确的定序只有一条：先定基圆半径 a 与齿壁厚 t，r_or 自动落定。判据落到评审上就是一句问话——这个方案里的 r_or，是算出来的还是凑出来的？答不出来的方案不予受理，⛔ 不要先去看它的效率数据。

工程量级／典型值。基圆半径 a 与齿壁厚 t 的实际取值属供应商企业规范与设计 know-how，不公开，本课不给数。全课算例统一取一组教学假设值（a = 2.5 mm、齿壁厚 t = 3.5 mm ⇒ r_or = πa − t = 3.14159 × 2.5 − 3.5 = 4.354 mm、齿距 P = 2πa = 15.708 mm），⚠ 该组值不对应任何平台、禁止照抄取用。这里附一条随手可做的自校验：沿半径方向的流道宽度 (P − 2t)/2 应与 r_or 完全相等（15.708 − 7.000 = 8.708，取半得 4.354 mm），对不上就说明型线族或参数取错了，别往下算。

易错点，三条。

① 拿齿头修正处的壁厚代入。修正后的齿头一般加厚，用那一段的壁厚去代式子里的齿壁厚 t，算得的 r_or 偏小、V_th 偏小；为了把排量凑回来又去加大 a 或 φ_e，最终超包络。⇒ 式子里的齿壁厚 t 指的是主体段的等壁厚。 ② 在变壁厚／变基圆型线上继续套这条式子。该式的前提是对称等壁厚渐开线、动定盘同基圆；前提一破，必须回到啮合条件重推。⚠ 这是口径错误不是精度问题——仍套此式所得的偏差方向不定，加小数位不会收敛。 ③ 忘了 r_or 还要再减去曲拐偏心的加工公差。数学上算出来的 r_or 是名义值，实际还要留出加工与装配的偏差，且必须仍然大于间隙与加工下限；忽略这一步，公差下限的批次会出现批次性排量缩水。

1.2 齿距 P = 2πa、流道宽度恰等于 r_or：容量侧与密封侧挂在同一个量上

是什么。沿半径方向数过去，相邻两圈同一条齿之间的距离是齿距 P = 2πa；扣掉两个齿壁厚再对半，剩下的通流宽度是 (P − 2t)/2 = πa − t，与 r_or 数值完全相同。⇒ 同一个量 r_or 出现在两个完全不同的地方：它是理论排量式里的一个乘数，也是后面第 3 讲切向泄漏面积、第 4 讲径向间隙分配所依据的基准长度。

为什么这一句要单独立一节。因为它直接否掉一种非常自然的工作顺序——「先把容量设计定下来，再去设计密封」。容量侧一改基圆半径 a 或齿壁厚 t，密封侧的所有面积基准同步变，此前算过的泄漏占比全部作废。⇒ 由此推出一条交付物纪律：型线参数表与间隙台账必须同批次冻结、同批次复算，⛔ 不许一份是上一轮的、一份是这一轮的。这条纪律在第 4 讲会以「间隙台账要标口径」的形式再出现一次，两者是同一件事的两个断面。

工程量级／典型值。沿用 1.1 的教学假设值：齿距 P = 15.708 mm、流道宽度 = r_or = 4.354 mm。⚠ 这两个数与上一节同源同舍入——全课对长度只保留三位小数这一种显示精度，⛔ 不与更高精度的值并存。

易错点，三条。

① 把「流道宽度」当成腔的实际过流截面。流道宽度只是径向的一个尺寸，实际过流截面还要乘齿高 h，且随曲轴转角变化——腔在压缩过程中一直在缩小。 ② 改了型线参数表，却拿上一轮的泄漏占比结论继续用。这是最常见的一次性失误，且不会报错：两份材料各自都自洽，只有合起来看才发现基准变过。 ③ 把 r_or 当成「齿顶密封线长」的基准。齿顶密封线长是另一个量（渐开线的弧长，随展角平方增长），与 r_or 量纲相同但物理含义完全不同，第 3 讲会把两者分开给。⇒ 在本讲把它们混起来，会让后面两条泄漏路径的面积算错量级。

1.3 V_th 正算式与它的口径陷阱：校不上零是口径不对，不是精度不够

是什么。对称等壁厚渐开线、无齿头修正、齿高沿展角为常数时，理论排量（每转排出容积）的解析式是

V_th = 2π·a·h·r_or·(2φ_e − 3π − 2φ_0)，其中 φ_0 = t/(2a)

括号项 (2φ_e − 3π − 2φ_0) 无量纲，可以读成「有效压缩展角」；整个式子的物理形态是「流道截面积（齿高 h × 流道宽度 r_or）× 展开长度（2π·a × 有效展角）」。终止展角与圈数的换算是 N = φ_e/2π。φ_0 是把齿壁厚折算成展角的修正角，它以 −2φ_0 的形式进括号项。

为什么必须先校零再用。括号里那个常数项 3π 的取法，源于展角从哪里起算、以及「每转排出几个腔」的记法差异——各设计手册口径不一致，跨资料照搬时偏差方向不定。更麻烦的是它的分布特征：圈数越少，常数项在括号里占的比重越大，所以小圈数机型上的相对误差最大。⇒ 判据不是「相信哪一本手册」，而是：用同一套定义反算一台已知 V_th 的样机校零；校不上，说明口径不对，不是精度不够。

工程量级／典型值。沿用教学假设值并补上齿高 h = 20 mm、终止展角 φ_e = 5π rad（N = 2.5 圈）：

• φ_0 = t/(2a) = 3.5/5.0 = 0.700 rad；
• 括号项 = 2 × 5π − 3π − 2 × 0.700 = 31.416 − 9.425 − 1.400 = 20.591；
• V_th = 2π × 2.5 × 20 × 4.354 × 20.591 = 2.82×10⁴ mm³/rev = 28.2 cm³/rev。

落点判读：车用电动涡旋压缩机的主流排量段约 20~50 cm³/rev（行业典型区间），28.2 落在带内；圈数 2.5 也落在车用机型常见的两到三圈量级（行业典型区间）内——说明这组教学假设几何是自洽的。⚠ 这两个区间的用途只有一个：判断算例落不落在带内。⛔ 端点不得当作可承诺值，⛔ 不得拿它去卡供应商。

同一个符号 φ_0，两种在流通的定义。φ_0 有两种定义都在手册里出现——t/(2a) 与 t/a，写出来都是「φ_0」，而结果差在排量这个最终交付量上：

口径	φ_0	2φ_0	括号项
口径甲（本课统一取此口径）	t/(2a) = 0.700 rad	1.400	20.591
口径乙	t/a = 1.400 rad	2.800	19.191

两者的括号项之差恰为 2 × 0.700 = 1.400。相对差取决于拿谁作分母：以口径乙为分母是 1.400/19.191 = 7.3%，以口径甲为分母是 1.400/20.591 = 6.8%。全课统一以口径乙为分母报 7.3%——这句「分母是谁」必须跟着数字一起写，⛔ 不许只报百分数。

⇒ 由此得到本课第一条口径纪律：引用任何一本设计手册的排量式，必须把三件事一起抄下来——φ_0 的定义、φ_e 的起算基准、常数项的取法，⛔ 不许只抄式子。这三件里少抄一件，上面那个 7.3% 就会以「不知道从哪来的偏差」的形式留在交付物里。

易错点，四条。

① 带齿头修正后继续用这条式子。修正削去了一段齿头，实际封闭容积更小 ⇒ 此式失效并高估 V_th，落到整车上就是制冷量不足，方向偏危险。为什么修正是必然的、以及修正之后该怎么办，见第 2 讲。 ② 齿高沿展角变化时把 h 提出积分号。变齿高或阶梯齿型线下 h 不是常数，必须分段积分。 ③ 把 V_th 直接当质量流量的乘数、漏掉容积效率 η_v。设计点的 η_v 典型在 0.7~0.95（行业典型区间，高压比或低转速工况更低），漏掉它就把流量算多了。η_v 该怎么写成可算的形式，是第 3 讲的事。 ④ 只报「相差 7.3%」而不写分母是谁。读者按另一个分母复算得到 6.8%，会以为正文算错；而把这个口径差当成「精度不够」去加小数位更是南辕北辙——它是系统性偏移，加多少位都不会收敛。最坏的一种是在同一份材料里前后混用两种口径，于是 V_th 与 Vi 分别用了不同的括号项，两个交付数字互不自洽。

1.4 反算才是逆向设计的真实入口：先用外径定 a 的上限，再用 φ_e 补排量，最后核齿壁厚 t

是什么。正算式的用途是校核，逆向设计的真实入口是反算：给定目标 V_th 与安装包络（最大外径、最大总高）之后，基圆半径 a 与终止展角 φ_e 是一对互相挤占的解——

• 加大 a：抬排量，但外径同步涨、齿壁应力上升；
• 加大 φ_e（多绕圈）：在同外径下也能抬排量，但压缩路径与齿顶密封线长同步变长，而密封线长随展角平方增长，径向泄漏面积随之放大（第 3 讲会把这条面积账写成式子）。

两条路都能到同一个排量，代价落在不同的地方。

为什么定序是「先 a、后 φ_e、最后核齿壁厚 t」。依据是「哪条约束最硬」：安装包络是整车给的、改不动，所以先用它把 a 的上限卡死；剩下的排量缺口只能由 φ_e 去补；齿壁厚 t 的强度下限是最后一道否决闸，过不了就得回头重来。⛔ 不许反过来先定 φ_e——先按「圈数多看起来更专业」定下圈数，再回头挤 a，结果几乎总是外径超包络。⚠ 这条三步定序是本课归纳的组织方式，⛔ 不是任何标准或设计手册的既有条款。

⇒ 这一步的交付物是一张可行域图而不是一组数：横轴 a、纵轴 φ_e，图上画外径约束线、齿壁强度约束线与等 V_th 线族，可行域是它们围出来的区域。⛔ r_or 不作为图上的独立坐标轴——它是导出量（1.1）。

工程量级／典型值。目标 V_th 与安装包络本身是平台相关量，由整车热负荷与布置确定，本课不给数。这里只演示算式形态：沿用教学假设几何，若把目标排量取为 40 cm³/rev（教学假设值）、而外径包络把 a 卡在 2.5 mm 不能再大，则括号项须从 20.591 涨到 20.591 × 40/28.2 ≈ 29.2，反解得 φ_e = (29.2 + 3π + 2φ_0)/2 ≈ 20.0 rad，即 N ≈ 3.2 圈——比原来的 2.5 圈多绕约 0.7 圈。代价是压缩路径与齿顶密封线长同步变长、径向泄漏面积随之放大。这就是「互相挤占」的算式形态：排量补回来了，账记在了密封侧。

易错点，三条。

① 先定圈数再挤基圆半径。见上，外径必超。 ② 只在图上画等 V_th 线而不画等 Vi 线。选完点才发现内容积比落在欠压缩侧，前面的工作全部要重做——两族线必须同时画在图上（Vi 的算法见 1.5）。 ③ 把可行域图当成有刻度的工程图去读数。三条约束线的位置由本项目的包络与材料许用给出，是可以沿轴平移的；⛔ 图上不写死具体数值，读者也不得据图取值。

1.5 Vi 的几何反算：内容积比被 φ_e 与 θ_d 之差锁死，改它只有两条路

是什么。压缩腔的容积随曲轴转角近似线性递减，据此内容积比可以直接由展角反算：

Vi = (2φ_e − 3π − 2φ_0) / (2φ_e − 3π − 2φ_0 − 2θ_d)

分子就是 1.3 那个括号项——吸气腔封闭时的有效展角跨度；分母是排气腔开启时剩余的展角跨度，θ_d 是排气口开启转角。⇒ Vi 完全由终止展角 φ_e 与排气口开启转角 θ_d 之差锁定，型线与排气口位置一冻结，它就跟着定死了。这正是「Vi 由型线固定、图纸定稿即锁死」（G1-01 电动涡旋压缩机结构与工作原理）的几何根因。

由此也就看清了：想改 Vi 只有两条路——动 φ_e（连带动 V_th，见 1.6）或动排气口开启位置 θ_d（连带动中心余隙与齿头强度，见第 2 讲），没有第三条。

为什么排气口的公差不能按孔位一般公差给。θ_d 出现在分母里，它的相对误差会被放大。⇒ 排气口位置的加工与装配公差必须由 Vi 的目标带反推；只按孔位一般公差给，Vi 的散差会直接超出验收带。这一条同时把「排气口是最后在中心挖个孔」这个常见做法否掉——它是与型线同级的设计特征，见第 2 讲。

工程量级／典型值。沿用括号项 20.591，取 θ_d = 6.9 rad（教学假设值——排气口开启位置属型线设计 know-how，各家不同，⛔ 不对应任何平台）：

• Vi = 20.591 / (20.591 − 2 × 6.9) = 20.591 / 6.791 = 3.03；
• 敏感性：θ_d 改为 6.4 rad（−7.2%）⇒ Vi = 20.591/7.791 = 2.64（−12.8%）。分母把敏感度放大约 1.8 倍。

再往前接一步匹配判断（口径引 G1-01 电动涡旋压缩机结构与工作原理 §4，本课只交付几何）：p_内排 ≈ p_吸 · Vi^κ。取吸气压力 p_吸 = 0.30 MPa（教学假设值）、κ ≈ 1.1（R134a 蒸气区等熵指数，来源 CoolProp/REFPROP 物性库，典型 1.08~1.15）⇒ p_内排 = 0.30 × 3.03^1.1 = 1.02 MPa。若该工况的冷凝压力为 1.5 MPa（教学假设值），则这台机在该工况落在欠压缩侧——排气腔还要在排气口之后继续升压，损失与脉动都由此而来（后果归 G1-01 电动涡旋压缩机结构与工作原理 §4，补偿手段归 G1-02 压缩机排量、转速控制与容调）。

易错点，三条。

① 拿线性递减近似去做端部的精细判断。该近似在腔刚封闭与临近排气这两端偏差最大，⛔ 不许用它去判端部行为。 ② 忘了 Vi 是几何量、不含泄漏。级间泄漏会使实际有效内建压比低于 Vi^κ 的预测 ⇒ 用几何 Vi 去算 p_内排，会把机器往过压缩一侧误判，而实机更偏欠压缩。⚠ 更要紧的是：这个误差与第 2 讲那个「齿头修正使真实 Vi 小于解析值」的误差方向相同、会叠加——两笔都把判断推向乐观侧。 ③ 跨供应商比 Vi 之前不问它是解析值还是 V-θ 回代值。带齿头修正之后两者不是同一个量（第 2 讲），拿来横比等于比了两件事。

1.6 不存在「只改排量不改 Vi」的改型：这是受理条件，不是建议

是什么。把 1.3 与 1.5 两条式子并排放，会看到同一个括号项 (2φ_e − 3π − 2φ_0) 出现了三次：一次在 V_th 的乘积里，两次在 Vi 的分子与分母里。⇒ 基圆半径 a、齿壁厚 t、终止展角 φ_e 任何一个动了，两个交付量一起动；唯一只动 Vi 不动 V_th 的旋钮是排气口开启转角 θ_d，而它连带动中心余隙容积与齿头强度（第 2 讲）。

为什么要把它写成受理条件而不是提醒。这是评审场合最常见、也最贵的一次性缺陷：供应商报「同平台放大排量」，材料里只给了新的 V_th，评审通过；装车后落进欠压缩或过压缩区，问题以「高温工况制冷量掉得快」或「排气温度偏高」的形式出现——而那时型线已经开模。提醒挡不住这件事，只有把它做成受理条件才挡得住。

⇒ 改型方案必须同时给出 V_th 与 Vi 两个数的变化量，⛔ 只报排量的方案不予受理。

工程量级／典型值。变化量本身由具体改型方案决定，属平台相关量，须由该方案的型线参数表现算，本课不给数。本课能给的是一张受理清单的四行——

受理项	要求
新旧 a／齿壁厚 t／齿高 h／终止展角 φ_e	四个设计量逐项对照，缺一项即退回
新旧 r_or	必须是算出来的（r_or = πa − t），不是单独给的一个数
新旧 V_th	注明是否含齿头修正的影响
新旧 Vi	必须注明是解析值还是 V-θ 回代值（第 2 讲）

易错点，三条。

① 把「Vi 不变」当成默认，理由是参数表上那一格没改数字。没改数字往往是没算，不是没变。 ② 拿变转速容调去兜底 Vi 的变化。转速能补流量，补不了内建压比——机理归 G1-01 电动涡旋压缩机结构与工作原理 §4 与 G1-02 压缩机排量、转速控制与容调，本课不重讲。 ③ 只在设计点核 Vi 匹配。过压缩与欠压缩是随工况移动的，必须核整条工况包络，尤其是高温高冷凝压力那个角点。

1.7 齿壁厚 t 被两头夹：下限由齿根应力与齿顶刚度给，上限由 r_or = πa − t 给

是什么。齿壁厚 t 不是可以任意取的：

• 下限——薄了齿根弯曲应力上不去，且齿顶刚度不够，齿在压差下侧向挠曲，径向间隙被实际吃掉（这条会在第 4 讲的间隙账上再出现一次）；
• 上限——厚了 r_or = πa − t 变小、排量掉；齿壁厚 t 趋近 πa 时 r_or 趋零，排量归零。

t/a 就是把这一对约束无量纲化之后的比值。

为什么统计带不是禁区。设计手册里的 t/a 统计带是别人的设计经验，不是物理边界。落在带外只说明「这不是常规做法」，需要补上额外证据：应力校核、刚度校核，或明确的补偿手段（加大齿高、改材料）。判据口径与 G5-05 电子水泵水力部件设计：叶轮/蜗壳几何、内部间隙与轴向力 处理叶轮几何比统计带一致——带外不是禁区，是举证责任转移；⛔ 说不出补偿手段就不许出带。

工程量级／典型值。t/a 的推荐带属设计手册与供应商企业规范，本课无可引用的公开来源，⛔ 不给具体带宽。可给的只有两条硬边界：

• 数学边界：t < πa（否则 r_or ≤ 0、排量归零）；
• 工程边界：齿壁厚 t 须满足齿根弯曲应力按最高压比工况校核的许用值。材料许用属平台相关量，须由本项目的材料数据确定，本课⛔ 不给任何许用值与安全系数。

易错点，三条。

① 把手册的统计带当成标准限值去卡供应商。那是把经验写成了规范——两者的举证责任完全不同。 ② 只按设计点校齿壁应力。齿头承受全机最高腔压、截面又最薄，必须按最高压比工况校（第 2 讲把这条展开成硬约束）。 ③ 把数学边界当工程边界用。r_or 还要再减去曲拐偏心的加工公差与间隙下限，真正可用的上限比 πa 低。

1.8 符号纪律与教学统一算例在这一讲一次立完，后面各讲不再另起

是什么。本课有三对符号特别容易读错，从这一讲起全课统一，各带定义与单位：

符号	名称	单位	与谁最容易混
a	基圆半径	mm	—
t	齿壁厚	mm	⚠ 与端板厚度 t_端板 只差下标
t_端板	端板厚度	mm	⚠ 第 4 讲的端板弯曲式里丢下标即代错
h	齿高	mm	—
φ_e	终止展角	rad	⚠ 与 φ_0 只差下标、量级差一个数量级
φ_0	壁厚折算展角（本课取 t/(2a)）	rad	⚠ 同上
θ_d	排气口开启转角	rad	—
ΔT	动盘与定盘之间的温差（差热膨胀用），⚠ 不是相对室温的温升	K	⚠ 与吸气受热温升 ΔT_吸 只差下标
ΔT_吸	吸气经壳体与电机的受热温升（进 η_v 密度项）	K	⚠ 同上；⛔ 丢下标即把两笔温差代成一个
r_or	偏心距（回转半径），导出量	mm	—
P	齿距 = 2πa	mm	—
N	圈数 = φ_e/2π	—	—
V_th	理论排量（每转排出容积）	cm³/rev	—
Vi	内容积比	—	⚠ 解析值与 V-θ 回代值不是同一个量
δ_轴向	轴向间隙（齿顶与端板之间），驱动径向泄漏	μm	⚠ 名字与泄漏路径交叉对应
δ_径向	径向间隙（齿侧与齿侧之间），驱动切向泄漏	μm	⚠ 同上，这是本课最容易混的一处
Δp	缝隙两侧压差（相邻两腔之间），进第 3 讲缝隙流量式	Pa（算例按 MPa 记）	⚠ 与端板两侧压差同名，全课裸写的 Δp 一律指这一个
Δp_端板	端板两侧压差，进第 4 讲端板弯曲标度式	Pa	⚠ 同上；⛔ 丢下标即把两个不同的压差代成一个

为什么这三对必须在第 1 讲就钉死。其中最险的是间隙那一对：轴向间隙驱动的是径向泄漏，径向间隙驱动的是切向泄漏——名字与路径是交叉对应的。一旦在某一讲丢了下标，读者会在第 3、4 讲把两条泄漏路径的整改手段用反：该动端板刚度的去磨齿侧，该动齿侧配合的去改端板。⚠ 那是方向性错误不是精度问题。⇒ 全课正文中禁止裸写不带下标的 δ，也禁止用不带下标的 t 去指端板厚度。

工程量级／典型值——全课教学统一算例。下面这一组是教学假设值，⚠ 不对应任何平台、禁止照抄取用；后续各讲一律沿用同一组、同一套舍入，⛔ 不得中途另起一组：

量	取值	性质
基圆半径 a	2.5 mm	教学假设值
齿壁厚 t	3.5 mm	教学假设值
齿高 h	20 mm	教学假设值
终止展角 φ_e	5π rad（N = 2.5 圈）	教学假设值
排气口开启转角 θ_d	6.9 rad	教学假设值
偏心距 r_or	4.354 mm	导出（πa − t）
壁厚折算展角 φ_0	0.700 rad	导出（t/(2a)）
括号项	20.591	导出
理论排量 V_th	28.2 cm³/rev	导出
内容积比 Vi	3.03	导出

显示精度也在这里一次定死：长度取三位小数（mm）、展角与括号项取三位小数（rad）、比值类无量纲量取三位有效数字（如 Vi = 3.03）、间隙按 μm 取一位小数、圆周率全课统一取 π = 3.14159。

易错点，三条。

① 中途换一组「更像真机」的参数。那会让前后各讲的算例互不衔接，读者拿第 1 讲的括号项去代第 4 讲的式子会对不上。 ② 把这组教学值写进图上的刻度，让读者据图取值。本课的图一律用归一化量或不带绝对刻度的示意，理由就在这里。 ③ 正文写四位、图上标三位。同一个量在正文、图、图注、alt 与生成脚本里必须同值同舍入——舍入值与更精确的值并存，等于印出两组互相排除的数。

本讲小结：五个几何量、四个自由度——偏心距 r_or = πa − t 是导出量，先定基圆半径 a 与齿壁厚 t，它自动落定；齿距 P = 2πa、流道宽度恰等于 r_or，所以容量侧与密封侧挂在同一个量上，型线参数表与间隙台账必须同批次冻结。理论排量 V_th = 2π·a·h·r_or·(2φ_e − 3π − 2φ_0) 的括号项自带口径歧义（φ_0 两种定义相差 7.3%，分母取 t/a 口径），用之前必须拿一台已知样机校零。反算才是逆向设计的入口：先用外径定 a 的上限、再用 φ_e 补排量、最后核齿壁厚 t 的强度下限，交付物是一张可行域图。Vi 由终止展角与排气口开启转角之差锁死，θ_d 在分母上、敏感度放大约 1.8 倍，改 Vi 只有两条路。⇒ 收出一条受理条件：不存在「只改排量不改 Vi」的改型，只报排量的方案不予受理。⚠ 但本讲全部解析式都建立在「无齿头修正」这个前提上——而量产涡旋盘的齿头一律是修正型线，第 2 讲就从这里接上。