G5-05 电子水泵水力部件设计：叶轮/蜗壳几何、内部间隙与轴向力

课程代码 G5-05 · 板块 G 总成级产品专题 / 泵类总成 时长 约 3.5~4.0 小时（8 讲） 前置 A2-02 泵与风机的工作点、特性曲线与匹配；G5-01 电子水泵结构、扬程—流量匹配与选型；体系外前置（需自备）：叶轮机械原理与速度三角形 本讲义定位 讲师授课蓝本 / 学员自学讲义，是 G5-05 大纲的完整展开版

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你手上的事	直接看	还要配
按目标工作点反算一台叶轮的主几何（D2 / b2 / β2b / Z）	第 3 讲：n_s 往下的几何映射带 + 四旋钮各改曲线的哪一维	第 1 讲（三式：改曲线只有这一条通道）· 第 2 讲（滑移那一折；不配它，扬程会系统性偏高）· 第 4 讲（进口侧 D1 与轮毂比）
判一台已有泵的效率为什么低：该抠叶片型线，还是该动 D2	第 6 讲：四口径逐列标定义的损失分解表 + 圆盘摩擦按 D2⁵ 的标度	第 2 讲（反算先设 σ 再解 η_h，⛔ 不用合并比值）· 第 8 讲（表与台架对不上时的排查顺序）
定蜗壳隔舌间隙比 D3/D2 与舌尖圆角 r_t，并说清放弃了什么	第 5 讲：一个旋钮，效率 / 径向力 / 压力脉动三向权衡一次说清	第 6 讲（径向力经轴挠度变成口环偏心，进热态最小间隙那条线）· C2-04 鼓风机与蜗壳设计：风量—噪声平衡（蜗壳通法，本课只交付液体介质的差异项）
定口环径向间隙 s_ring 的公差带	第 6 讲：四条夹逼线取交集带，⛔ 不是越小越好	第 7 讲（同一个 s_ring 也改腔压分布因而改轴向力，⛔ 不许单方面冻结）· I5-02 GD&T 与公差分析在热管理中的应用 M2-01 质量工具：PPAP/8D/SPC/MSA（公差带要留得出 Cpk）
在平衡孔与背叶片之间选型，并校核止推面	第 7 讲：轴向力三项分解 + 选型决策链 + PV 按最恶劣残余力 × 最高转速	第 6 讲（轴向间隙 s_ax 与腔内旋转比 k 是它的输入）· I3-02 静密封/动密封结构设计与选型（PV 的定义与量纲，本课只使用）
定一次水力设计 CFD 的计算域与台架对标计划	第 8 讲：域必须含前后盖板腔；曲线形状才是验收量	第 7 讲（要算的那个力从哪来）· J2-01 CFD 基础、湍流模型与网格划分（Fluent/STAR-CCM+）（湍流模型、y+ 与网格无关性）

⛔ 本课不覆盖：NPSHa/NPSHr 的判据与裕量取法、汽蚀与冲蚀的形貌判别、干转保护逻辑 → G5-04 泵的气蚀、空气分离与可靠性（本课只给进口几何往哪个方向调）；电机、驱动器与隔离套涡流损、叶片通过频率的阶次识别与降噪整改 → G5-03 泵的无刷电机、驱动与噪声控制；隔离套的耐压与长期蠕变 → 它是干湿分隔件、不参与做功也不在流道上，同样归 G5-03 泵的无刷电机、驱动与噪声控制；比转速的定义、有量纲性质与机型筛选、介质与转速的换算口径 → A2-02 泵与风机的工作点、特性曲线与匹配；系统阻力曲线与工作点求交 → G5-01 电子水泵结构、扬程—流量匹配与选型 A2-02 泵与风机的工作点、特性曲线与匹配；叶轮旋转件强度与超速校核、叶轮与蜗壳的制造工艺与脱模 → 本课全篇不讲、也不给判据，同型做法参照 C2-04 鼓风机与蜗壳设计：风量—噪声平衡（本课只留一句提醒：气动设计值须留成型公差余量）。★ 以及不给的数：任何一台泵的 D2 / D1 / b2 / Z / β2b 取值（去向＝本课的算法链 + 本平台自己的目标工作点）· 口环与轴向间隙的公差带（I5-02 GD&T 与公差分析在热管理中的应用 M2-01 质量工具：PPAP/8D/SPC/MSA 的过程能力）· 许用 [PV]（材料副供应商数据表 + 本项目冷却液条件下的实测台架，两个都记）· 最低成膜转速（同前）· 本车允许的压力脉动幅值（整车 NVH 目标与 G5-03 泵的无刷电机、驱动与噪声控制）· 轴承许用载荷与轴挠度限值（轴承供应商数据表与本项目的轴系计算）· NPSHr 的数值与裕量（G5-04 泵的气蚀、空气分离与可靠性）· 损失分解表各项的占比（按本课第 6 讲的方法自己算）——⛔ 本课一个数都不给。

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引言：叶轮车大一点，扬程按二次方涨，而圆盘摩擦按五次方涨

水力设计评审桌上最常见的交付，是一张几何参数表：D2 多少、b2 多少、β2b 多少、叶片数几片，末尾一行「扬程达标」。这张表看起来把活干完了，而它答不了必然会被问出来的第二个问题——为了这个扬程，你付掉了什么。

拿最直觉的那个动作举例：扬程不够就把叶轮车大一点。D2 加大同一比例，扬程按 D2 的二次方涨（H ∝ u2² ∝ D2²），而前后盖板腔里的圆盘摩擦按 D2 的五次方涨（P_df ∝ D2⁵）。这两个指数是量级式本身的标度关系，可以给准确值，出处等级是设计手册的量级式；它们的差就是这条直觉的代价所在——在低比转速泵上，这一刀下去扬程涨了、轴功率涨得更多，而报告上只会出现前一个数。

⇒ 全课要敲的第一根钉子就是这件事：本课没有一个单账旋钮——每一个几何量都同时改两笔以上的账。除了 D2，后面还会逐个展开另外两个：口环径向间隙 s_ring 改容积效率 η_v 的同时，改前盖板腔的压力分布、因而改轴向力（第 6、7 讲）；轴向腔宽 s_ax 改圆盘摩擦的同时，改腔内旋转比 k，而 k 是轴向力主项的直接输入（第 6、7 讲）。只报一笔的方案，必然把改型方向指错——它不是精度差一点，是方向反了。

⇒ 所以本课的交付形态一开始就定死为三件套，⛔ 不是一套几何参数表：

1. 损失分解表——水力 / 容积 / 圆盘 / 机械四口径分开、逐列标定义，在设计点与最低占空比点各算一份；
2. 轴向力三项分解与止推面 PV 校核——按最恶劣工况，⛔ 不是设计点；
3. 每个旋钮「放弃了什么」的说明——只写「选了多少」的方案书，下一个人无从判断这个取值还能不能动。

⛔ 「扬程够了」不是交付：那句话只回答了三件套里的半件。本课给的是算法链、判据结构与自检问题，⛔ 不是一套可以抄的取值。

第二根钉子：前后盖板腔——它不产出一点扬程，却定死三讲的结论

多数人的水力设计清单上只有两样东西：叶轮流道与蜗壳型线。它们是液体真正流过、真正做功的地方；沿「液体从进口走到出口」这条线数下来，这份清单看起来是完整的。

而叶轮前后盖板与壳体之间的那两个环形空腔不在这条线上。它们不是流道，也不是密封面；液体在里面被盖板带着转，一点扬程都不产出。⇒ 沿流道枚举，它整格不出现；而漏掉之后失去的不是精度，是一整类结论：

• 它是圆盘摩擦的发生地——低比转速泵上这一项可占轴功率的数十个百分点量级（行业典型带，⛔ 端点不作可承诺值）。占比一高，抠叶片型线收效有限，该动的是 D2、腔宽与盖板外表面粗糙度（第 6 讲）；
• 它是腔内旋转比 k 的载体——k 是腔内流体角速度与叶轮角速度之比（常在 0.4~0.5 量级，典型带），它决定腔压沿半径怎么分布，而那正是轴向力主项的直接输入（第 7 讲）；
• 它是 CFD 计算域成败的分水岭——不把腔建进去，轴向力根本算不出来，云图画得再漂亮也是一个没有腔的模型（第 8 讲）。

⇒ 由此得出本课唯一一条跨讲的硬纪律，第 7 讲会再钉一次：轴向间隙 s_ax 的公差带⛔ 不得由第 6 讲单方面确定，它必须与第 7 讲的平衡方案一起冻结——背叶片的平衡效果对这个轴向间隙高度敏感，s_ax 一变平衡就变。

⚠ 两种后果的严重程度也不在一个量级上：圆盘摩擦漏记只是账面偏差，而止推面 PV 越限是早期磨损。

★ 最容易被读反的一条：「滑移是一笔损失」——把滑移系数那一折算进效率账

读者会做的那个动作很具体：手上有算出来的 H_th∞ 与台架实测的 H，一步相除得到一个比值，把它当作水力效率，拿去查手册的统计带。

诱因有四个，每一个单独看都很合理：

1. 「滑移」这个词在别处几乎全是负面的（离合器滑移、无位置传感控制里的失步），读者带着这个语感进来；
2. σ = H_th/H_th∞ 与 η_h = H/H_th 两个式子形状一模一样，都是一个扬程比另一个扬程；
3. 一次反算给不出两个数——手上只有 H_th∞ 与 H 这两端，中间那个 H_th 没有人给；
4. ★ 最要命的一条：合并之后所有算式仍然自洽，H = (σ·η_h)·H_th∞ 照样成立，扬程照样对得上。只有热账会暴露它。

为什么必须分账。判据只有一条：发不发热。σ 折的是做功能力——有限叶片数下叶道内的相对涡使出口绝对速度的圆周分量减小，那部分能量从来没有进到流体里，不产生熵、不发热；h_loss 折的是已经进到流体里、又退化成热与噪声的那一部分（叶道与蜗壳摩擦、进口冲角冲击、二次流与尾迹掺混三类）。把两者混成一个数，等于把一笔从未发生的能量转换记成了发热。

读反之后会做的四个动作，每一个都可以当场判真假：

1. 拿合并比值去查水力效率统计带，判定「水力设计有偏差」⇒ 去抠叶片型线，而真正该动的是 Z 或 D2。这是方向性错误，⛔ 不是精度问题；
2. 在损失分解表里给滑移单列一行并计入 ⇒ 四项之和反推出的效率与台架对不上，回头怀疑台架；
3. 把滑移那一折折算成发热 ⇒ 泵的自身发热算高，整车侧无谓多留一笔裕量；
4. 为「减少滑移损失」一路加叶片数 ⇒ 排挤系数 ψ2 下降、摩擦面积上升，扬程可能不升反降、效率一定掉。

⇒ 两条纪律全课执行：损失分解表里⛔ 不许给滑移留一行；反算供应商曲线时先设 σ、再解 η_h，两个数分两步出，⛔ 不许拿一个合并比值下结论。σ 工程上落在 0.7~0.9 量级（行业典型带，⛔ 端点不作可承诺值），且它随叶片数 Z 与出口安放角 β2b 变化、⛔ 不是一个常数；引用任何经验关联式，必须连同该手册自己的 σ 定义、自变量定义与适用范围一起引（这条引用办法在第 3 讲成节交付）。

另外四条会被读反的判断：这里只点名、只给去向

它们与上面那条共享同一个形状——做错之后不会报错：公式照样算得出数、模型照样收敛、台架稳态逐点测照样过。⛔ 引言不展开论证，每一条都要成节的篇幅才讲得清。

1. β 的起算基准——本课的速度三角形三式只在 β 从切向（圆周方向）起算时成立，而造型软件与部分设计手册从径向/子午向起算，同一片叶片的两个角度值互为余角，tan 值可差数倍。代错基准，公式一个字不用改，算出来仍是一个正数、仍像一个合理的扬程 ⇒ 第 1 讲。
2. 把鼓风机的出口角结论搬过来——泵是后弯叶轮（β2b < 90°），而 C2-04 鼓风机与蜗壳设计：风量—噪声平衡 的车用鼓风机是前向多翼（β2b > 90°），两者物理方向相反。β2b 增大虽抬 c_u2∞，却把 H-Q 曲线压平，平到小流量端长出正斜率的驼峰段，就会与系统阻力曲线多点相交、流量跳变 ⇒ 第 3 讲。
3. 口环间隙只当容积账——s_ring 是 η_v 与 F_ax 两笔账的共同输入。单方面改它的公差带而不通知做轴向力的人，是本课最典型的一次「只报一笔」⇒ 第 6、7 讲。
4. 设计点校核过就安全——轴向力的极值出现在关小流量、关死点与启停瞬态，而且方向会反转。止推面只按单向设计，反向那一刻直接失去承载 ⇒ 第 7 讲。

★ 今天就能用的一条：拿到任何一份水力方案，先问三问

不必等读完全课。手上有一份叶轮参数表、一份供应商的选型报告，或者一句「把 D2 加大两个点就够了」，按顺序问三句——

1. 这个旋钮同时改了哪几笔账？说不出第二笔，就说明这一格还没看完。本课会记到的账有这几笔：扬程（H-Q 曲线的高度与陡缓）· 效率（水力 / 容积 / 圆盘 / 机械四口径）· 力（轴向力与径向力）· 汽蚀与压力脉动（本课只给方向，限值另有去向）。
2. 这个取值放弃了什么？⛔ 一份只写「选了多少」的方案书，等于把一次三向权衡报成了单值——下一个人拿到它，既不知道还能不能动，也不知道往哪个方向动是安全的。
3. 这笔账是在哪个工况下算的？本课的校核工况一律不是设计点：损失分解表在设计点与最低占空比点各算一遍；轴向力与止推面 PV 按最恶劣残余力 × 最高转速这个组合；径向力按关死点。⚠ 并且本课的设计点＝目标工作点，它与效率最高点常常不重合，两处措辞不能互换。

⇒ 三问答不上来的那一问，正好指向你今天最该打开的那一讲。

⇒ 八讲做的就是把这三问落成产物：第 1 讲立起全课唯一的坐标系（出口速度三角形三式与欧拉方程，以及 β 起算基准这道关）；第 2 讲把两道折损分开（滑移与三类水力损失，η_h 的分母就此定死）；第 3 讲从已定的 n_s 往下做几何映射，交出四个旋钮的分工表，并立下手册常数的引用办法；第 4 讲回到进口侧（五个旋钮各往哪个方向调，以及自出图进口流道时 NPSHr 的哪一部分回到主机厂手上）；第 5 讲做蜗壳与隔舌（一个旋钮三向权衡，以及径向力这条载荷输入）；第 6 讲进到两个腔与口环，交出四口径逐列标定义的损失分解表；第 7 讲分解轴向力、在平衡孔与背叶片之间选型并校核止推面；第 8 讲把 CFD 计算域与台架对标口径定下来，说清哪些结论必须回台架。

⚠ 全课的一条口径在这里一次说清：本课不给任何一台泵的具体几何取值、公差带、许用 [PV]、脉动限值、NPSHr 裕量或损失各项的占比——那些数由本项目自己的目标工作点、所选材料副与本项目介质条件下的台架给出。本课交付的是算法链、判据结构与拿到那些数的路；凡本课出现的教学算例，每一个输入值都会当场标明「教学假设，不对应任何平台」。

第 1 讲　出口速度三角形与欧拉方程：全课唯一的坐标系

本课后面七讲要动的每一个几何量——叶轮外径、出口叶宽、叶片安放角、叶片数、隔舌间隙比、口环间隙、盖板腔宽——最终都要在同一张 H-Q 曲线上见效。这一讲要立起来的，就是从几何量通到那条曲线的唯一一条路：出口速度三角形的三个量。三式立不住，后面所有「这个旋钮改的是曲线的哪一维」都只能当结论去背，改型时既说不出方向也说不出代价。

这一讲还要顺手做一件预防性的事：把三个在后面几讲里最容易悄悄出错的口径，赶在读者第一次用到它们之前钉死。它们有一个共同点——代错之后不会报错：公式照样算得出数，结果照样落在一个看起来合理的量级上，没有任何一步会亮红灯。

本讲开头先交代三条全课通用的口径，后面不再重复：

• Q 一律是体积流量，本课全篇不出现表示热量的 Q。这一条与本课程体系其余课的习惯相反，所以在这里显式声明一次：内部计算统一用 m³/s，对外报数统一用 L/min，凡给数处两个单位同时给。
• 长度分两套单位：图纸上的直径与叶宽用 mm，代进公式前一律换成 m；转速用 r/min。
• 角度一律从切向（圆周方向）起算——理由在 1.2，那是本课「做错不报错」的第一个例子。

1.1 出口速度三角形是全课唯一的坐标系：三式之外没有第二条改 H-Q 曲线的通道

液体离开叶轮出口的那一瞬间，同时有三个速度存在，而它们分属两个观察者：

• 圆周速度 u2——叶轮把出口那一圈材料带着转的速度，方向沿切向：u2 = πD2n/60。
• 相对速度 w2——站在叶轮上（随叶轮一起转）看到的速度，方向沿叶片出口段的切线。
• 绝对速度 c2——站在壳体上（不转）看到的速度，是前两者的矢量和。

真正进入扬程账的不是 c2 本身，而是它的两个分量：子午分量 c_m2（在离心泵出口近似沿径向）管的是流量，圆周分量 c_u2∞ 管的是做功。三式就是把这两个分量表达出来：

式	只被这些量牵动	一眼要读出的东西
u2 = πD2n/60	D2、n	与流量无关——同一台泵在任何工作点上 u2 都是同一个数
c_m2 = Q/(πD2·b2·ψ2)	Q、D2、b2、ψ2（ψ2 随 Z 与叶片厚度变，见 1.5）	出口那一圈的几何过流面积是 πD2·b2，再被排挤系数 ψ2 折掉叶片占掉的一部分
c_u2∞ = u2 − c_m2/tanβ2b	前两式的结果，再叠一个 β2b	后弯叶轮的 tanβ2b > 0，所以 c_u2∞ 总小于 u2；β2b 越小减得越多

进口侧有同一组量，只把下标换成 1：u1 是叶片进口边处的圆周速度，w1 是进口相对速度，c_m1 是进口绝对速度的子午分量。这两个进口量在本课后面各有一次单独出场——w1 决定叶片进口边吸力面的局部低压，是进口几何影响必需汽蚀余量 NPSHr 的物理入口（进口几何往哪个方向调是第 4 讲的内容，汽蚀本身的判据与裕量归 G5-04 泵的气蚀、空气分离与可靠性）；c_m1 进的是轴向力的进口动量项（第 7 讲）。⚠ 直径也要分开：D1 是叶片进口边直径，D2 是叶轮出口直径，本讲三式全落在出口断面上，用的一律是 D2。

这一讲最要立住的一句话是：后面所有几何参数改 H-Q 曲线，都只能通过改这三个量来改，没有第二条通道。这句话不是修辞，它可以逐个旋钮验证——D2 同时进第一式与第二式；b2 只进第二式；β2b 只进第三式；Z 一路通过 ψ2 进第二式，另一路通过滑移进第 2 讲。第 3 讲那张「四个旋钮各改曲线的哪一维」的分工表，全部依据就在这三行里。

⇒ 今天就能用的一个动作：拿到任何一份写着「把某个几何量改成多少」的方案，先把这个改动落到三式上，问两句——它动了哪一式？动了几式？凡是动两式以上的量，必然同时改两笔以上的账，方案里只报一笔就是没报完（D2 同时进 u2 与 c_m2，是这一族里最典型的一个）。

还有一件事值得在这里先说清，因为它决定了后面出偏差时该往哪儿查：这三式里没有经验系数——它们是纯几何与运动学关系，代进去算出来的就是那个数，不存在「换一本手册结果就不一样」的问题。唯一的例外是排挤系数 ψ2，它是手册常数（1.5 展开）。⇒ 这句话的用处是把不确定度的来源划开：第 1 讲这一层算出来的偏差，只可能来自输入代错——单位、起算基准、进出口断面搞混——不可能来自公式本身。真正带统计带、会随手册版本变的东西，从第 2 讲的滑移系数才开始出现。

最后一条记号纪律，它在后面每一讲都会被用到：三式产出的圆周分量写作 c_u2∞，下标 ∞ 表示「无穷多叶片」这个假设。真实叶片数是有限的，实际的圆周分量 c_u2 比它小，那一折是第 2 讲的内容。全课凡由三式算出的圆周分量一律带 ∞ 下标——它与 c_u2 只差一个下标而数值相差可达两三成，是本课最容易丢的一个符号。

1.2 β 的起算基准必须先问清：切向与径向互为余角，代错时公式一个字不用改而结果全错

上面那三式里藏着一个前提：β2b 必须是从切向（圆周方向）起算的。而三维造型软件、部分设计手册与供应商图纸常常从径向（子午向）起算——同一片叶片，同一条出口切线，两套基准给出的角度值互为余角：切向 25° 就是径向 65°（这是纯几何换算，不是任何平台的设计取值）。

代错基准的后果是纯算术的：tan 25° ≈ 0.47，tan 65° ≈ 2.14，两者差约 4.6 倍。三式里 c_m2/tanβ2b 这一整项因此差数倍，c_u2∞ 与理论扬程随之系统性偏高——具体偏多少，1.6 的算例会当场量出来。

真正危险的不是错了多少，而是它不报错。把这条防线拆开看就清楚了：代错之后，c_u2∞ 仍然落在 0 与 u2 之间（没有越界）、H_th∞ 仍然是一个正数（没有出现负扬程这种一眼可见的荒谬）、量级仍然像一台车用电子水泵该有的样子（没有触发任何量级直觉）。工程上最常用的三道自查——符号对不对、范围越没越界、量级像不像——在这里一道都拦不住。这就是为什么这一条必须靠一个前置动作解决，而不能靠事后检查。

⇒ 今天就能用的一张收角度三问单。拿到任何一个 β 值，在把它写进任何一份文档或代进任何一个公式之前，先问清三件事，问不清就不许收下：

1. 从哪条参考线起算——切向还是径向/子午向？（造型软件的默认基准与你的公式基准往往不一致，且软件界面上通常不写。）
2. 是安放角还是流动角——是叶片的几何安放角 β2b，还是流体的实际相对流动角 β2′？（两者在有限叶片数下不相等，差出来的那一部分正是第 2 讲的滑移在几何上的表现。）
3. 是出口还是进口——β2b 还是 β1b？（进口角管的是冲角与冲击损失的零点，出口角管的是做功，两者互换会把结论错到另一条曲线上。）

如果对方一时答不上来第 1 问，还有一个不用等答复就能做的兜底动作：把两套基准各代一遍，把两个 H_th∞ 都算出来。这两个数之间的差，就是「基准没问清」这件事给你留下的敞口。敞口大到你不能据它做决定时，回去把基准问清楚——⛔ 不要在两个数里挑一个看起来更顺眼的。

一条连带的记号纪律：全课禁止裸写 β2。几何安放角写 β2b（下标 b 表示 blade），实际相对流动角写 β2′。裸写的那一刻，第 2 讲的滑移就没有地方安放了。

1.3 欧拉方程给的是上限：扬程的第一决定量是 u2，其余参数都在这条上限之下打折

把出口的做功分量接到扬程上，靠的是欧拉方程：

H_th∞ = (u2·c_u2∞ − u1·c_u1)/g

车用电子水泵的进口通常没有预旋（c_u1 ≈ 0），它退化成：

H_th∞ = u2·c_u2∞/g

两个限定都写在这个符号里：∞ 表示无穷多叶片（还没扣滑移），th 表示理论（还没扣任何水力损失）。它是一条上限，不是一台泵能交付的扬程。

把 1.1 的第三式代回去，这条上限还能改写成一个更能说事的形状。记出口流量系数 φ2 ≡ c_m2/u2（无量纲，本课为写清下面这条标度关系而引入的记法），则：

H_th∞ = (u2²/g)·(1 − φ2/tanβ2b)

这个形状一眼给出三件事：

1. 第一决定量是 u2，而且是平方项。u2 只由 D2 与转速定 ⇒ 扬程的量级，在选定叶轮外径与转速的那一刻就基本定了；β2b、b2、Z 都只是在 u2²/g 这条上限之下调整括号里那个折减。
2. 括号里的折减只由 φ2/tanβ2b 这一个组合决定。也就是说，流量与出口角不是两个独立的旋钮，它们通过同一个组合起作用——同样加大 β2b，在大流量（φ2 大）下把曲线抬得多，在小流量下抬得少。
3. 在无穷叶片、无损失这两个理想化之下，φ2 与流量成正比，所以 H_th∞ 随 Q 是一条直线，斜率由 β2b 定。H-Q 曲线的「陡缓」这一维就是从这里长出来的——它的工程后果（压平到出现驼峰段、工作点跳变）在第 3 讲展开。

⇒ 今天就能用的一个提问顺序：扬程不够时，先问「能不能动 u2」（加大 D2，或提高转速），因为它是平方项、是唯一的一阶手段；再去动括号里的量，那是二阶的。⚠ 但这条顺序只回答了「哪个手段最有效」，没有回答「哪个手段最划算」——加大 D2 的代价按外径的五次方进圆盘摩擦（第 6 讲），提高转速会同时抬起进口相对速度与叶片通过频率。本课不存在只报效果不报代价的改型建议。

三条易错点：

• ⛔ 这里的圆周分量必须写 c_u2∞。丢了下标，下一讲的滑移就没有落点。
• ⛔ 不许把 H_th∞ 当成泵能给出的扬程，去与供应商 H-Q 曲线直接比。两者之间还隔着两道折：滑移（做功能力打折）与三类水力损失（进到流体里又退化成热）。用 H_actual/H_th∞ 这一个比值下结论，正是本课要点破的那条最主要的误读（把滑移当成一笔损失）的产生机制——一个比值里同时含着滑移与水力效率两项，一次反算给不出两个数。分两步反算的做法在第 2 讲交付。
• ⚠ H 是液柱高度 [m]，压升是 Δp = ρgH [Pa]，两者不混用（口径承接 A2-06 流体力学基础：连续性、伯努利与静压/动压/全压口径 与 G5-01 电子水泵结构、扬程—流量匹配与选型）。凡由 H 换算 Δp，必须同时写明所取的 ρ 连同浓度与温度；冷却液密度本课不重复给数，取自 A1-07 热管理常用工质的热物性与查用 的查用口径。

1.4 进口预旋不是一笔损失，它改的是欧拉功本身

上面把 c_u1 ≈ 0 这个假设一句带过，这里要单独把它翻出来，因为它属于一个整类容易被漏掉的东西。

欧拉方程里的 u1·c_u1 是一个减项。c_u1 ≠ 0 时，理论功本身就变了——这和滑移、和水力损失完全不是一回事：那两者是在一个已经定下来的理论功上打折，而预旋是把理论功这个基数改掉。

值得记住的是它为什么容易被漏掉。多数人做能量账的方式是沿着「能量往下走、每一步扣掉多少」这条线索一格一格地数：滑移、摩擦、冲击、掺混、泄漏、圆盘摩擦、轴承与密封。这条线索本身没有错，但沿着它永远数不到「输入端被改了」这一格——因为预旋根本不在「往下走」的路径上，它在起点。凡是靠单一线索枚举出来的清单，都要再问一句「有没有不在这条线上的」，本条就是那一问的产物。

方向要写清楚，因为它和直觉相反：

• 与叶轮转向同向的预旋（c_u1 与 u1 同向）使减项变大 ⇒ H_th∞ 下降。
• 反向预旋使减项变负 ⇒ H_th∞ 上升。

⛔ 但不得把反向预旋当成一份「可以顺手拿来的增益」，理由有两条，都不在扬程账里：其一，反向预旋抬高叶片进口的相对速度 w1，而 w1 正是叶片进口边吸力面局部低压的物理入口——代价落在进口侧（进口几何往哪个方向调、以及它把 NPSHr 抬高还是压低，是第 4 讲的内容；汽蚀的判据、裕量取法与损伤形貌一律归 G5-04 泵的气蚀、空气分离与可靠性，本课不给任何裕量数值）。其二，一台泵进口处到底有多少预旋，取决于上游管路的布置与流场均匀性——那既不在本课，也不在泵供应商手上，它是回路设计的产物。把它写进泵的设计输入，等于把一个自己控制不了的量当成了已知条件。

⇒ 今天就能用的一个排查方向：当台架实测扬程比算出来的低一截时，常规动作是回头查滑移系数取值与损失模型。这一条提醒你还有输入端要查——进口是不是被上游给了一个同向预旋。判法不用测流场：看进口直管段够不够长、上游最近的弯头或阀口离泵进口有多远、进口段有没有强迫转向。判出来之后的下一个动作是改回路布置，不是改叶轮——这一点很重要，因为这两个动作花的钱和时间差一个量级，而且改叶轮在这里根本治不到病根。

⚠ 这条结论的边界：它只在预旋确实存在时成立。本课默认 c_u1 ≈ 0，这是一个假设不是事实，已知的三种失效场合是——进口段有强弯、上游阀口出流带旋、进口装有诱导轮。这三种之外的常规直管进口，按无预旋处理是合适的。

1.5 排挤系数 ψ2 是叶片数增多时反向起作用的那一项

回到 1.1 的第二式。出口那一圈的几何过流面积是 πD2·b2，但叶片本身要占掉一部分周长，液体真正能过的只有 πD2·b2·ψ2，其中 ψ2 < 1。所以计入厚度之后，c_m2 = Q/(πD2·b2·ψ2) 比不计厚度时大。

把 ψ2 的几何构成写出来，它的两条依赖关系就藏不住了（下式是按排挤系数的几何定义写出的结构式，⛔ 不是任何手册的条款）：

ψ2 = 1 −（Z 片叶片在出口圆周上占掉的弧长之和）/(πD2)

而每片叶片在圆周方向占掉的弧长，不等于它的厚度：厚度是垂直于叶片量的，圆周方向要斜着量，所以占掉的弧长约为 δ2/sinβ2b（δ2 为叶片出口厚度，本条为写清这层几何关系而引入的记法）。合起来，被排挤掉的总弧长正比于 Z·δ2/sinβ2b。

⇒ 两件事一眼可读：

1. ψ2 与叶片数 Z 近似线性反向——每加一片叶片，出口可用面积就少一份。这是「加叶片」这个动作的第二笔账（第一笔是滑移变轻，在第 2 讲）。
2. β2b 越小（叶片越贴近切向、越「躺平」），同样的厚度占掉的圆周弧长越长，排挤越重。所以排挤这笔账在小出口角的叶轮上更重——这是 β2b 的又一个不在扬程账里的连带影响。

具体取到多少，是手册常数：它随叶片厚度、包角与 Z 变化，各手册的定义与适用范围也不一致。引用它要连同手册与适用范围一起引，这套固定动作在第 3 讲成节交付，本条只提醒它属于那一类，⛔ 不在这里给取值。

⛔ 易错点只有一条，但它足以改掉一个结论：不许把 ψ2 当成一个与 Z 无关的固定折减。一旦把它当常数，加叶片这个动作就只剩下「滑移变轻、扬程升高」这一笔，于是必然推出「Z 越多越好」。真实情况是两条方向相反的趋势叠加——滑移那一路往上、排挤与摩擦面积这一路往下——它们的和才有第 3 讲那个最优叶片数。把 ψ2 钉成常数，等于在算式里提前删掉了往下的那一路。

1.6 教学算例：把三式与欧拉方程走一遍，并把基准代错的代价当场量出来

⚠ 下面这组输入全部是教学假设值，不对应任何平台，⛔ 禁止取用。它们唯一的用途，是让你亲手把三式的量级与单位换算走一遍。

输入	取值	性质
叶轮出口直径 D2	60 mm	教学假设值，不对应任何平台
出口叶宽 b2	4 mm	教学假设值，不对应任何平台
叶片数 Z	6	教学假设值，不对应任何平台
出口安放角 β2b	25°（从切向起算）	教学假设值，不对应任何平台
出口排挤系数 ψ2	0.90	教学假设值，不对应任何平台
转速 n	4500 r/min	教学假设值，不对应任何平台
体积流量 Q	60 L/min	教学假设值，不对应任何平台
重力加速度 g	9.81 m/s²	物理常量

第 0 步　单位换算（这一步不许省）

D2 = 60 mm = 0.060 m；b2 = 4 mm = 0.004 m 　　Q = 60 L/min = 60/(1000×60) = 1.00×10⁻³ m³/s 　　n = 4500 r/min ⇒ ω = 2πn/60 = 2π×75 = 471.2 rad/s

⚠ 本讲用不到 ω，这里先把它换出来，是为了把纪律立在第一次用到转速的地方：全课凡出现 ω 的式子（第 6 讲的圆盘摩擦按 ω 的三次方走）都必须用 rad/s。把 n 直接代进含 ω³ 的式子，会差 (2π/60)³ ≈ 1.15×10⁻³ 倍，近三个数量级——而算出来仍然是个正数，任何一步都不会报错。这是本课最贵的一个单位坑。

第 1 步　圆周速度

u2 = πD2n/60 = π×0.060×4500/60 = π×4.5 = 14.14 m/s

第 2 步　出口子午分量

过流面积 πD2·b2·ψ2 = π×0.060×0.004×0.90 = 6.79×10⁻⁴ m² 　　c_m2 = Q/(πD2·b2·ψ2) = 1.00×10⁻³/6.79×10⁻⁴ = 1.47 m/s

第 3 步　出口圆周分量（无穷叶片假设）

tan β2b = tan 25° = 0.4663 　　c_m2/tanβ2b = 1.47/0.4663 = 3.16 m/s 　　c_u2∞ = u2 − c_m2/tanβ2b = 14.14 − 3.16 = 10.98 m/s

第 4 步　理论扬程上限

H_th∞ = u2·c_u2∞/g = 14.14×10.98/9.81 = 15.8 m

第 5 步　用 1.3 的等价形式复核（两条路算出同一个数，说明中间没有算错）

φ2 = c_m2/u2 = 1.47/14.14 = 0.104 　　H_th∞ = (u2²/g)·(1 − φ2/tanβ2b) = (14.14²/9.81)×(1 − 0.104/0.4663) = 20.37×0.776 = 15.8 m ✓

第 6 步　把 1.2 的坑代进来，看它到底有多大

设这片叶片真实的切向出口角就是 25°，因而从径向起算时它是 65°。现在假设造型软件报给你的是径向基准下的 65°，而你没有问基准、直接代进了三式：

c_m2/tan 65° = 1.47/2.1445 = 0.69 m/s 　　c_u2∞ = 14.14 − 0.69 = 13.45 m/s 　　H_th∞ = 14.14×13.45/9.81 = 19.4 m

15.8 m 与 19.4 m，高估约两成三。请注意这两个数都像一台车用电子水泵该有的理论扬程：都是正数、都在同一个量级、都没有触发任何一条常规自查。把 19.4 m 拿去做后面的损失分解，四项之和反推出来的效率会莫名其妙地偏低，而人通常会回头去怀疑损失模型或怀疑台架——没有人会回头怀疑一个角度的起算基准。这就是 1.2 那张三问单值这几分钟的原因。

第 7 步　这个数是什么、不是什么

15.8 m 是这台假想叶轮的理论上限，⛔ 不是它能交付的扬程。中间还隔着两道折——滑移与三类水力损失——第 2 讲承接这组输入把链条走完。⛔ 本算例中的任何一个数，都不得在后文被当作「典型值」引用。

⇒ 产物规格：一份合格的第 1 讲计算记录，应当有六行（少任何一行，后面几讲的账都对不起来）：

1. 输入表，每一行标明来源——目标工作点 / 图纸 / 手册 / 教学假设；
2. 单位换算行，含 mm→m、L/min→m³/s 与 n↔ω；
3. u2，并注明它与流量无关；
4. c_m2，写明 ψ2 的取值与它的来源；
5. c_u2∞，写明 β2b 的起算基准；
6. H_th∞，并注明它是上限，不是这台泵的扬程。

1.7 本讲收束：五处最易撞名的量一次钉死

本课八讲共用同一批符号，而其中五组只差一个下标、一个字母或一个单位。任何一处丢下标，都会在后面某一讲里变成一个安静的错值——它不会让哪一步算不下去，只会让最后那张损失分解表对不上台架。趁着符号刚刚全部登场，一次钉死：

本课记法	它指什么	最容易与它撞的	撞了会怎样
c_u2∞	无穷叶片假设下出口绝对速度的圆周分量，由三式算出	c_u2（有限叶片数下的实际值，c_u2 = σ·c_u2∞）	只差一个下标而数值相差可达两三成；第 2 讲的滑移就折在这两者之间
β2b	叶片安放角（几何角），全课从切向起算，泵为后弯叶轮故 β2b < 90°	β2′（出口实际相对流动角）	两者之差正是滑移的几何表现；⛔ 全课禁止裸写 β2
n [r/min]	转速	ω [rad/s]，ω = 2πn/60	代进含 ω³ 的式子差 (2π/60)³ ≈ 1.15×10⁻³ 倍，近三个数量级，且不报错
Q [m³/s，对外 L/min]	体积流量（含泄漏分量时写 Q_leak,ring / Q_leak,bal）	本课程体系其余课里表示热量的 Q	本课全篇不出现表示热量的 Q
s_ring / s_ax [mm]	口环径向间隙 / 轴向腔宽	字母 c——已被绝对速度族 c_m、c_u 占用	⛔ 全课禁止用 c 表示间隙

再加一条与符号同级的纪律，它管的是一个词而不是一个字母：全课任何一处写「间隙」都必须带限定词——口环间隙、轴向间隙、隔舌间隙、背叶片端面间隙、止推面轴向游隙、轴承副间隙，⛔ 禁止裸写「间隙」两个字。理由在后半程会反复兑现：本课要谈的「间隙」至少有五个位置，其中两个（口环间隙与轴向腔宽）各自同时进两笔以上的账，说的是哪一个直接决定了对方该不该跟着重算。

⇒ 这五行不只是读讲义时的约定。它们在你自己的设计说明、图纸标注、一维损失模型表与 CFD 报告里同样要成立——第 6 讲那张损失分解表之所以要求逐列写出定义，正是因为一个符号在这四个地方各写各的时，表面上的数还能对得上，跨供应商横比时却会得出方向相反的结论。符号统一不是排版问题，它是那张表能不能拿来做决定的前提。

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