D1-01 动力电池产热机理与产热速率建模

课程代码 D1-01 · 板块 D 电池热管理 BTMS / 电池产热与热失控基础 时长 约 3.5 小时（5 讲） 前置 A1-01 导热建模基础；A1-06 热阻网络与集总参数建模；体系外前置（需自备）：锂离子电池工作原理与充放电基本概念 本讲义定位 讲师授课蓝本 / 学员自学讲义，是 D1-01 大纲的完整展开版

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引言：先把「发多少热」问清楚，再去算「有多热」

电池热管理的每一项设计——冷板做多大、流量给多少、快充曲线敢开到哪——最后都落回同一个数：这颗电芯此刻发多少热。它是整条链的源项，源项错了，下游的温升、热点位置与寿命预测会跟着一起错，而且错得很像对的。本课把这个数从「I²R」这个粗糙印象拆回它的真源——Bernardi 的两项：不可逆的极化耗散热，与可正可负的可逆熵热——再一路走完参数怎么测、怎么从电芯放大到整包、怎么交给 1D/3D 仿真。

全课要敲的第一根钉子是一句让人不舒服的话：「内阻」不是电芯的固有属性，它是被测法定义出来的一个量。同一颗电芯，同一个 SOC、同一个温度、同一个方向的电流，只把取样时刻从 1 s 挪到 10 s，读出来的表观内阻就差三成半（本课教学算例的输出，数值在第 1 讲给全；那些值是教学假设值，不对应任何电芯、任何供应商产品，不得取用）；改用交流阻抗谱的高频实部，又是第三个数。所以，报一个 R 而不同时报它的口径，这个数就不可复现，代进 I²R 得到的产热也不可复现——本课把这个口径归纳成固定的六项（脉冲宽度、温度、SOC、电流方向、电流幅值、SOH），它是本课自建的清单，不是哪一份标准的现成条款。⚠ 这里的「脉冲宽度」与上一句的「取样时刻」是同一维、不是两维——1.2 与 3.1 把这条约定连同符号一起写死。而 Bernardi 原式压根不需要你去定义 R：它的不可逆项写成实测电压差 I(U_oc − U)，开路电压与端电压之间这一整条极化压降，已经把欧姆、活化、浓差三支全包进去了。

第二根钉子来自一个人人都知道、却几乎人人在用法上违反的事实：温度是产热对时间的积分。积分把误差向后搬运并一路累加，于是「温升曲线在哪一段偏了」根本读不出「产热在哪一段算错了」——偏差最大的那一段，恰恰是最不可能藏着误差来源的那一段。本课最容易被读反的一条就在这里：0 ℃ 环境起充、电芯未预热的 4C 快充把末段峰值算低了，本能反应是去调高末段的内阻、调低末段的冷板换热系数，或者干脆把结论写成「冷板换热能力不够，要加大」。三个动作都能把那条曲线凑上——凑上之后，一个参数与结构双错的模型就带着「已标定」的印章走进下游的冷板选型与充电曲线制定。正确的动作是沿时间轴回溯到偏差开始累积的位置去补测参数；这个案例真正的落点是低温快充窗口（预热到什么温度才允许起 4C、加热与冷却怎么切换），不是冷板能力。还要连带记住半句：误差的方向由工况的温度轨迹决定，不由「内阻随温度下降」这条单调性决定——换成常温起充，同一套固定内阻的模型会走到反方向去。

由这两根钉子，本课要建立三个判断力。一是口径判断力：拿到任何一个产热参数，先问它是在什么条件下测出来的，答不上来就既不许插值也不许外推。二是选型判断力：模型颗粒度按问题选，不是按「越细越准」选，而且别漏掉电与热之间是单向还是双向耦合这一维。三是验证与归因判断力：先用不含结构误差的标尺（等温量热）锁住总产热，再对温度场分布，再对时间常数，最后换一个在参数空间上正交的工况复验；顺序反了，必然发生「用结构误差补参数误差」。最后留一个提醒，第 1 讲末节的图 02 会把它画成一条可手算的门槛：熵热的符号与量级都不是常数——「充电吸热、放电放热」不是定则，「熵热是小项」也不是；小倍率与电压平台区，正是熵热当家的地方。

第 1 讲　电芯里的热从哪来

一切电池热管理设计都始于一个数：这颗电芯此刻发多少热。这一讲不急着写方程，先做两件更基础的事——把「热从哪来」这个集合数全，以及把每一类热的脾气摸清。这两件事没做完就去列方程，方程本身可能一个字都没错，但它算的是一个不完整的物理对象；而漏掉的那些项不会以「少一行」的形式提醒你，它们会以「量热试验对不上那一小块」「热点位置画错了」「慢充工况走势算反了」的形式，在很后面才露头。本讲的落点有三个：产热项的八类全集、三支极化各自的时间尺度、以及熵热的符号与量级这两件都不是常数的事。

本课全部算例使用同一组教学假设参数。它在正文、图、图注与生成脚本的每一处取值完全一致；⛔ 它不对应任何平台、任何电芯、任何供应商产品，禁止取用，只用来把机理算给你看：

量	教学假设值	说明
标称容量	50.0 Ah	全课 C-rate 的分母
产热口径内阻 R	1.50 mΩ	＝ R0 + R1 + R2，即下列 2RC 模型的稳态值
R0	0.600 mΩ	欧姆支
R1、τ1	0.400 mΩ、0.80 s	电荷转移支
R2、τ2	0.500 mΩ、15.0 s	浓差支
熵热系数 ∂U_oc/∂T	−0.100 mV/K	按「放电为正」约定，负值对应放电放热
开路电压 U_oc	3.60 V	只在图 07 的能量账里用到（那张图的分母是焓释放速率，必须有它）。⛔ 它不对应任何体系——不同正极体系的开路电压差别很大，本课不据它判断任何化学体系
参考温度 T	298.15 K	常温算例的取值
卷芯体积 V_cell	4.00e-4 m³	体积口径的三档之分见第 2 讲
ρ·c_p	2.20 MJ/(m³·K)	体积形式的热容
集总热容	880 J/K	＝ ρ·c_p × V_cell——与上一行是同一个热容量的两种写法，不是两个独立的值
集总散热 hA	2.00 W/K	用于第 5 讲与案例算例
Arrhenius 斜率 Ea/Rg	4000 K	内阻随温度变化的教学取值
k∥ / k⊥	20.0 / 0.800 W/(m·K)	各向异性导热，用于第 4 讲算例
表面对流 h	50.0 W/(m²·K)	用于第 4 讲算例
二维算例截面	148 × 26.5 mm	用于第 4 讲算例

其中 ρ·c_p 与 k∥/k⊥ 属电芯热学物性，是本课的输入而不是本课的产出（去向见 D1-07 电芯热学物性的实测与索取：c_p、各向异性 k 与内部等效热阻的取值来源、测法与验收，该课在建；这些参数按待定输入处理、须向电芯厂索取并附测试状态声明），此处只作教学代入，⛔ 不作任何取值建议。

还有一个从第一行就要说清的口径：C-rate 的分母是哪一个容量。本课全部算例一律以上表的标称容量 50.0 Ah 为分母；而在工程实务里「额定／BOL 容量」与「当前容量」两种基准都在流通，⛔ 见到不带基准说明的 C-rate 数不许直接收下，必须回问。这不是抠字眼——它直接决定「老化到寿命末期，产热是升还是降」这个方向，那件事在第 3 讲讲。

1.1 产热项不是两类，是八类——沿 Bernardi 两项去数，漏掉的是整类

大多数人对电池产热的第一印象来自 Bernardi 方程的两项：一项不可逆、一项可逆。于是「电芯里的热从哪来」这个问题就顺理成章地被回答成「两类」。这个回答的毛病不在于它错，而在于它看起来是完整的——你沿着「方程写了哪两项」这条线索数，数出来的条条都对，但不在这条线索上的整类东西，不会以「少一条」的形式暴露给你。

所以先立一个方法：先画全集，再逐项核对。自检只有两问——① 我刚才是沿什么线索数的？② 有没有不在这条线索上、但同样属于这个集合的？对本课的产热项，八类是：

1. 欧姆极化热——电子导电相、离子导电相、固液界面接触三处的即时压降；
2. 活化极化热——电极反应的电荷转移过电位；
3. 浓差极化热——固相扩散与液相传质造成的浓度梯度过电位；
4. 可逆熵热——反应熵变对应的那份热，随 SOC 变号；
5. 混合热类效应与相变热——浓度梯度弛豫伴随的那一类效应，以及有相变／两相共存平台的体系里的相变潜热。⚠ 这两者在本课是同一类的两个成员：它们正是两项式默认忽略掉的那一类（2.5 专讲），⛔ 不是八类之外另有的第九类；
6. 副反应热——SEI 生长与分解、电解液氧化、析锂及其后续反应；
7. 电芯外的欧姆热——极耳焊点、汇流排、螺栓与激光焊连接件的接触电阻发热（与 4.6 第 3 条、图 1 是同一份清单）。⚠ 集流体不在这一类里：它是极片平面内连续的金属导体，属电芯内部，它的压降已经算在第 ① 类的「电子导电相」里了（它在电芯内的导热角色见 4.8）；
8. 外部注入热——BMS 采样板、加热膜／PTC，以及来自电机电控与座舱的传入热。

沿 Bernardi 两项枚举，漏掉的是⑤⑦⑧这三整类。它们之所以能躲过去，是因为各自的露头条件都很窄：

• ⑤ 混合热类效应与相变热：混合热类效应只在大电流脉冲结束后的弛豫段才看得见——恒流段被极化热整个盖住了。只做恒流工况的人可能一辈子碰不到它；做脉冲试验后处理的人则会在弛豫段看到一块「说不清哪来的」热流，然后顺手把它塞进内阻的拟合误差里。同一类里的相变热则换一个露头条件：它只在有明显相变／两相共存平台的体系上出现，且集中在平台区，与熵热叠在同一段曲线上（2.5 第 2 条边界专讲）——不做那类体系的人同样一辈子碰不到它。
• ⑦ 电芯外的欧姆热只在包级热账里才显形。你在电芯级模型里怎么算都算不出它，因为它根本不在电芯的几何里。
• ⑧ 外部注入热只在低倍率或静置工况里才占比可观——快充工况下电芯自己产的热把它盖住了，而在静置保温、低温加热这些工况里，它可能是唯一的源。

第八类还要多说一句：它不是产热，但它同样以源项的身份进能量方程。归不归你这个部门算是一回事，代不代进方程是另一回事。

本课对这八类的射程分三档，不是每一类都讲到同一层：①②③④给判据（本讲与第 2 讲的主体）；⑤⑦⑧只讲「它存在、归谁算、代进哪里」；⑥的触发温度与放热量属 D1-03 热失控触发机理与特征参数 的判据范围（该课在建），本课只给去向——⛔ 不给任何限值、等级号与条款内容。包级把这些源按归属清点一遍的做法见第 4 讲的图 17。

⛔ 最后一条纪律，它是这一节真正的交付物：「没列进 q̇_v」不等于「它是零」。外部注入热与连接件热必须显式成为源项清单里的一行，取值为零时把理由写在旁边——「在本模型覆盖的工况与 SOH 区间内取零，理由是……」，⛔ 不许把它隐含在别处，更不许因为方程里没写就当它不存在。理由很实在：默认值不会被任何工况覆盖到，它不会在评审里被人问起，也不会在验证里被测出来；一旦工况越界，它就是一段未定义行为。

1.2 三支极化按时间尺度分开——能分开它们的是「取样时刻」，不是电压读数

①②③这三支极化，机理各不相同：

• 欧姆极化＝电子导电相、离子导电相与固液界面接触电阻造成的即时压降，响应在 ms 及以下，与电流成正比；
• 活化极化＝电极反应的电荷转移过电位，遵 Butler-Volmer 型关系，在大过电位下对电流呈对数依赖；
• 浓差极化＝固相扩散与液相传质造成的浓度梯度过电位，弛豫最慢（10~10² s 量级），接近极限电流时急剧发散。

真正有工程意义的不是这三条定义，而是它们的时间常数差几个量级——正因如此，一次电流阶跃就足以把三支在时间轴上分开。这是 HPPC 脉冲法与 EIS 交流阻抗谱两种测法共同的物理基础：一个在时域上按取样时刻分，一个在频域上按频段分。

用本课的教学假设 2RC 电芯把这件事画出来（τ1 = 0.80 s 对应电荷转移支，τ2 = 15.0 s 对应浓差支；R0 = 0.600、R1 = 0.400、R2 = 0.500 mΩ，三者之和 1.50 mΩ 即稳态值），施加一个恒流阶跃，从电压响应上按不同时刻取点、再除以电流，得到的表观内阻随取样时刻单调长大：

取样时刻	1 ms	1 s	10 s	60 s	稳态
表观内阻（mΩ）	0.601	0.918	1.24	1.49	1.50

⚠ 这五个数是教学假设模型的输出，⛔ 不是任何电芯的内阻，禁止取用。要看的是它们之间的关系：1 s 与 10 s 之间差三成半——而这两个数常常被同一份报告不加区分地都叫「内阻」。⚠ 同样要说清的是：这里的「1 s 与 10 s」只是用来说明「取不同时刻会读出不同 R」的两个时间尺度，⛔ 不得被写成、也不得被读成任何测试规程的规定取样点。

⇒ 由此得到本讲的第一个可执行结论：选脉冲宽度，就是在选「这个 R 代表哪几支极化」。它是一个口径定义，不是一个设备设置。⚠ 这里要把两个词的关系一次说死，⛔ 免得后面把它们读成两维：「取样时刻」与「脉冲宽度」在本课指的是同一维——上表的表头写「取样时刻」，是因为读数是在响应曲线上按时刻取的；而阶跃发生到 t 时刻之间的电压响应，与这支脉冲在 t 之后何时结束无关，⇒ 在一支宽脉冲的 t 处取样，与用一支宽度为 t 的脉冲在末端取样，给出的是同一个 R。3.1 会把这条约定连同符号一起写死。至于「报一个 R 到底要同时报哪些东西才算说清楚」，第 3 讲会把它落成一份可执行的清单，这里先把这个坑指出来。

占比的迁移方向也是可判的，尽管绝对占比不可给：电流增大时，欧姆项按一次方增长而活化项按对数增长，⇒ 大倍率下欧姆与浓差两支的相对权重上升、活化支的相对权重下降；温度降低时三支同时抬升但幅度不同，其中浓差支的恶化最陡。⛔ 三支各自的绝对占比是平台相关量（随化学体系、电芯设计与 SOH），本课不给数，图上也不给——图 1 对这三支只做定性标注。占比随倍率迁移的另一面（可逆项与不可逆项之间怎么此消彼长）见 1.7 的图 6。

易错点：① 把三支当成可以直接相加的三个电阻——只有欧姆支是线性电阻，活化支与浓差支的「等效电阻」都随电流变；② ⛔ 不得把小信号下测到的电荷转移电阻当作大电流工况下的等效值（这一条在第 3 讲讲 EIS 与 DCIR 的差别时展开）。

1.3 熵热来自反应熵变：∂U_oc/∂T 是 ΔS 的直接读数，变号是材料指纹不是噪声

第四类热与前三类完全不是一回事。前三类是「电能没变成有用功的那部分」，是耗散；第四类是反应本身的熵变必须与环境交换的那份热，与效率无关——即便电池的电效率是 100%，它依然存在。

它的量度可以从热力学直接得到。由 ΔG = −nF·U_oc 与 ΔS = −∂ΔG/∂T，两式合并即得：

∂U_oc/∂T = ΔS/(nF)，其中 F = 96485 C/mol 为法拉第常数。

⇒ 熵热系数不是一个拟合参数，它是电极反应熵变的直接读数。这个身份认定很要紧：拟合参数可以为了让曲线对上而调，熵变不行。

由此也能理解它为什么会变号。锂在电极材料中的嵌入与脱出会经过若干个两相共存区与有序相，每一次结构转变都会让 ΔS 改变符号或大小，于是 ∂U_oc/∂T(SOC) 呈现出多次穿越零轴的形状——它是材料结构的指纹。⛔ 不要把变号处的抖动当成测量误差抹平掉：恰恰是那些 SOC 点上熵热趋零，走势判断在那里最敏感（1.7 会看到，那些点上临界电流 I* 趋于零，熵热永远不主导）。

关于它的量级，本课能给的只到一条行业典型量级带：∂U_oc/∂T 的量级在 mV/K 以内。⛔ 任何体系、任何 SOC 点的具体值本课不给（无核对过的原始数据），图 4 的纵轴因此不设刻度、变号位置画成可沿 SOC 轴平移的分界。⛔ 也不要把某个体系的曲线形状当成通用形状——穿零次数与穿零位置随化学体系与电极材料而定。

1.4 熵热的符号不是定则：四种组合各判各的，而整张表还以一套符号约定为前提

熵热的表达式是 Q_rev = −I·T·(∂U_oc/∂T)。它的符号由两个因子共同决定：电流方向，以及熵热系数本身的符号。⇒ 判断吸热还是放热，必须四种组合各判各的：

电流方向	∂U_oc/∂T < 0	∂U_oc/∂T > 0
放电（I > 0）	Q_rev > 0，放热	Q_rev < 0，吸热
充电（I < 0）	Q_rev < 0，吸热	Q_rev > 0，放热

误区：以为「充电吸热、放电放热」是定则。它不是——它只是这张表里的两格。把它当定则记住的人，会在 ∂U_oc/∂T 反号的那些 SOC 段扣掉一份本该加上的热，而且扣得毫无察觉：温升曲线只是慢慢地、系统性地偏一点，看起来像是内阻标得不准，于是有人就真的去改内阻了。

⚠ 更容易被跳过的是第二件事：上面这张表整个以「放电为正」这套符号约定为前提。若改用「充电为正」，同一颗电芯、同一个工况，I 与 (U_oc − U) 的符号同时翻，不可逆项仍恒正（这一条第 2 讲会验一遍），但熵热项的符号翻了——同一个 ∂U_oc/∂T 会给出相反的吸放热结论。而两种约定在文献与工程实务里都在流通：表面读数一模一样，含义完全相反。

⇒ 本课的口径要求两条，一条对内一条对外：对内，全课统一取「放电为正」，并把这条写进交付的口径声明书；对外，接收外部数据时见到不带约定说明的电流序列，⛔ 必须回问，不许直接收下。最难查的一种事故是：从两份不同来源的数据里各取一段拼进同一个模型，约定不同，于是熵热的符号在中途翻了一次，而端电压曲线看起来仍然是连续的。仿真软件的默认约定与试验台的默认约定不一致而没人核过，是同一种事故的另一个版本。

1.5 副反应热与接触电阻热：正常工况取零，但必须显式占源项清单的一行

第六类，以及第七类的一部分，在正常工况下确实小到可以忽略。但「可忽略」是一个条件判断，不是一张免检牌。

• 副反应热＝SEI 生长与分解、电解液氧化、析锂及其后续反应的放热。它在老化末期与近失控边界上升为主导。
• 接触电阻热＝极耳焊点、螺栓与激光焊连接界面上的 I²R_contact。它随装配质量分散，且随服役老化（松动、氧化、蠕变）单调抬升——它是不随电芯改善而改善的那一类热：换一颗更好的电芯，这份热一分不少。

⛔ 两者本课都不给数：R_contact 由装配质量决定且随老化变，是平台相关量；副反应热的起始温度与放热量属 D1-03 热失控触发机理与特征参数 的判据范围，本课只给类型与去向，⛔ 不给限值、不给等级号、不给条款内容。

那本课能给什么？给处置方式——而它正是 1.1 那条纪律的第一处落地：让这两项显式成为源项清单里的一行，取值为零时把理由写在旁边（「在本模型覆盖的工况区间与 SOH 区间内取零，理由是……」）。这样做的收益不在这一版模型上，在下一版：一旦工况越界（做滥用工况、做寿命末期工况、做连接件松动的敏感度），这一行会被人看见；而如果它当初根本没出现在清单上，越界时没有任何东西会提醒你。

1.6 极耳与汇流排是包内的隐藏热点：集中源，⛔ 不许平摊进 q̇_v

第七类值得单独一节，因为它是最常被「算平」的一类。

极片面上的电流线要从整个极片面汇聚到窄小的极耳截面，局部电流密度成倍上升；再往外，是焊点、汇流排与连接件的接触电阻。⛔ 具体的电流密度倍数与接触电阻值是平台相关量（随极耳几何、焊接工艺、装配扭矩与老化状态），本课不给数。

这一段的热有两个性质与电芯本体的热根本不同：

1. 空间上是集中源，不是体积均布；
2. 它们在几何归属上分两档，⛔ 不能一句「都在电芯几何之外」带过：极耳属于电芯——按 2.6 的三档体积口径，它在卷芯体积之外、含壳外廓体积之内，极片向极耳汇聚那一段的电流集中热仍算电芯本体的欧姆热（图 5 的归属分界线正是这样画的：极耳颈部在线左、进 q̇_v）；而焊点、汇流排与连接件整个在电芯几何之外（在包的连接结构里），既不属于卷芯体积，也不属于含壳外廓体积。

⇒ 由此得到本节的禁令：⛔ 不许把它平摊进电芯体积热源 q̇_v（q̇_v 的分母本身还有一层口径坑，第 2 讲专讲）。⚠ 这条禁令站住靠的是性质 1（它是集中源），⛔ 不是性质 2——两档的理由并不相同，都要说清：焊点、汇流排与连接件根本不在 q̇_v 的分母里，摊进去等于凭空给电芯加了一份不属于它的热；极耳颈部虽然在分母里（含壳外廓这一档），但它的热集中在一小块截面上，用均布的 q̇_v 去代表它，等于把这个局部峰值整个抹掉。⇒ 前者是「⛔ 不许摊进来」，后者是「⛔ 不许摊平」。平摊之后会发生一件很有欺骗性的事：总热量守住了，但热点位置整个错了。总热量对得上，能量守恒也满足，任何一个「总量校核」都能过；而对电池包来说，热点位置恰恰是安全与寿命判据的落点。你用一个错的空间分布，换来了一个对的总量。

正确的建模处置是：在 CFD 或 1D 模型里，把它作为独立的集中热源施加在连接件位置，与电芯体积源分列——两笔账分开记，才有可能分别验证、分别归因。

易错点：① 只看电芯级仿真结果就宣布「热点在电芯中心」——电芯级模型里根本没有这一类源，它当然看不到；② 把汇流排热当成「小到可以忽略」而不做任何敏感度；③ 把极耳热点与电芯内部热点混为一谈——前者由电流密度分布定，后者由厚度方向导热系数 k⊥ 与体积源共同定，两者的位置、量级与改善手段都不一样。包级把热源按归属清点一遍的做法见第 4 讲的图 17。

1.7 熵热什么时候不能忽略：一个可手算的门槛 I*，与 Q_rev/Q_irr = I*/I 这条标度关系

到这里，八类热已经数全，四类的机理也说清了。但工程上还缺一个可判真假的问题的答案：什么时候可以不算熵热？

把两项相除即可：

Q_rev/Q_irr = |I·T·(∂U_oc/∂T)| / (I²R) = T·|∂U_oc/∂T| / (I·R)

令它等于 1，就得到一个有电流量纲的门槛：

I* = T·|∂U_oc/∂T| / R　⇒　Q_rev/Q_irr = I*/I

⚠ 这是本课归纳的量级判据，⛔ 不是任何标准、也不是任何既有课程体系的既有条款；引用它时请照此标明。它成立的理由很干净：两项对电流的依赖阶数不同——不可逆热是二次方，熵热是一次方——所以它们的比值必然反比于电流，在双对数坐标上是一条斜率为 −1 的直线。量纲也验得过：K × (V/K) / Ω = V/Ω = A ✓。

代入本课的教学假设参数（T = 298.15 K、|∂U_oc/∂T| = 0.100 mV/K、R = 1.50 mΩ、标称容量 50.0 Ah）：

工况电流	0.2C	1C	2C	4C
Q_rev/Q_irr	1.99	0.398	0.199	0.0994

门槛落在 I* = 19.9 A = 0.398C。⚠ 这一组数是教学假设值，⛔ 不对应任何平台、任何电芯，禁止取用；能带走的是结构，不是数字。

结构说的是这件事：0.2C 处比值大于 1——熵热比不可逆热还大，是主项。慢充、静置放电、电压平台区，正是熵热当家的地方。

反过来说，这也是本讲最容易被读反的一条。大纲案例给出的观察是：4C 快充下熵热约占不可逆热的一成到两成（行业典型量级带；⚠ 区间端点⛔ 不得当成可承诺值），只改曲线形状、改不动幅值。⛔ 误区：把这句话记成「熵热是小项」。那是 4C 的结论，不是熵热的结论——把它搬到 0.2C 上，你漏掉的是主项，慢充与静置工况的温升走势会被算反（该吸热的那一段算成了放热，或者反过来）。本课教学算例在 4C 下给出 0.0994，与那个量级带同量级；⚠ 但请注意它是算例的输出，⛔ 不是对该区间的验证。

三个易错点，条条都会让 I* 失效：

① I* 里的 R 必须是产热口径的 R。换一个脉冲宽度的 R 就换一个 I*——按 1.2 那张表，1 s 与 10 s 的 R 差三成半，I* 也就跟着差三成半。这本身就是「R 是被测法定义出来的量」的又一处印证。 ② ⛔ 不要把 I* 当常数。它是 T 与 SOC 的函数（R 与 ∂U_oc/∂T 都随 T、SOC 变）：低温下 R 大 ⇒ I* 小 ⇒ 熵热占比更低。 ③ 在 ∂U_oc/∂T 变号处 I* 趋于零，那些 SOC 点上熵热永远不主导。⛔ 因此不许用一条水平线、也不许用一条固定的竖线代表 I*——它是一条会随工况平移、并在变号处趋零的边界。

比值回答的是「该不该算」，还有一个问题它回答不了：热管理压力大不大。这要看绝对值。以本课教学假设参数在 2C（I = 100 A）下拆账：Q_irr = 15.0 W、Q_rev = 2.98 W、Q_gen = 18.0 W（⚠ 教学假设值，⛔ 禁止取用）。而 0.2C 虽然熵热占比高得多，Q_gen 的绝对值却小得多。

⇒ 「该不该把熵热算进去」看占比，「热管理压力大不大」看绝对值，这是两个判断，⛔ 不得互相推导。互相推导会得到两个方向相反的错误结论：一个是「慢充占比高所以慢充更需要冷却」，另一个是「快充占比低所以快充干脆不用算熵热」——前者高估了慢充的热负荷，后者在快充模型里丢掉了一项本来顺手就能加上的修正。

本讲小结：① 产热项的全集是八类不是两类，沿 Bernardi 两项去数，必漏「混合热类效应与相变热」（这两者同属第 ⑤ 类）、电芯外的欧姆热与外部注入热这三整类——而且漏掉的是整类，清单看起来仍然是完整的；② 三支极化按时间尺度分开，能分开它们的是取样时刻而不是电压读数，⇒ 选脉冲宽度就是在选这个 R 代表哪几支极化；③ 熵热是反应熵变的直接读数，它的符号要按「电流方向 × 熵热系数符号」四种组合各判各的，而整张表以「放电为正」这套约定为前提，换约定整表翻面；④ 它的量级由本课归纳的门槛 I* = T·|∂U_oc/∂T|/R 与标度关系 Q_rev/Q_irr = I*/I 判定，小倍率下熵热完全可以是主项；⑤ 两条纪律贯穿全讲——没列进 q̇_v 不等于它是零，以及集中热源不许当成均布体积源——判据是「它是集中源」而不是「它在电芯几何之外」：焊点／汇流排／连接件连 q̇_v 的分母都不在（⛔ 不许摊进来），极耳则在含壳外廓这一档分母之内、但热集中在颈部一小块截面上（⛔ 不许摊平）。